问答题

设f(x)=
，求f’(1)与f’(一1)．

答案：正确答案：由题设知f(1+0)=

=f(一1)，故f(x)又可以写成

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设y=(1+x ² ) ^arctanx ，求y’．

答案：正确答案：将函数化为y=
，然后对x求导即得 y’=(1+x²)^arctanx...

设y=f(x)可导，且y’≠0．(Ⅰ)若已知y=f(x)的反函数x=φ(y)可导，试由复合函数求导法则导出反函数求导公式；(Ⅱ)若又设y=f(x)二阶可导，则
=_________．

答案：正确答案：(Ⅰ)设y=f(x)的反函数是x=φ(y)，则反函数的导数可由复合函数求导法则求出：由y=f(φ(y))，两...

设

答案：正确答案：

继续对x求导，并注意t是x的函数，得

(Ⅰ)设函数y=y(x)由方程sin(x ² +y ² )+e ^x 一xy ² =0所确定，求
； (Ⅱ)设e ^x+y =y确定y=y(x)，求y’，y"； (Ⅲ)设函数y=f(x+y)，其中f具有二阶导数，且f’≠1，求
．

答案：正确答案：(Ⅰ)将原方程两边直接对x求导数，并注意y是x的函数，然后解出y’即可．由 (2x+2y．y’)cos(x

设f(x)=
，求f(x)在点x=0处的导数．

答案：正确答案：

其中用到了等价无穷小因子替换：

ln(1+x)一1(x→0)．

设f(x)=
，求f’(1)与f’(一1)．

答案：正确答案：由题设知f(1+0)=

=f(一1)，故f(x)又可以写成

设f(x)=
求f’(x)．

答案：正确答案：当x≠0时，由求导法则得 f’(x)=3x²sin
；当x=0时，可用以下两...

求下列y ⁽ⁿ⁾ ：

答案：正确答案：(Ⅰ)当n为奇数时，xⁿ+1可被x+1整除，xⁿ+1=(x+1)(...

设y=sin ⁴ x，求y ⁽ⁿ⁾ ．

答案：正确答案：

设y=X2eh，求y ⁽ⁿ⁾ ．

答案：正确答案：用莱布尼兹法则并注意(x²)^(k)=0(k=3，4，…)， (e<...

求下列函数的导数与微分：(Ⅰ)设y=
，求dy；(Ⅱ)设y=(x一1)
，求y’与y’(1)．

答案：正确答案：(Ⅰ)
(Ⅱ)这是求连乘积的导数，用对数求导法方便．因函数可取负值，先取绝对值后再取对数得

设y=∫ ₀ ^x
dt+1，求它的反函数x=φ(y)的二阶导数
及φ"(1)．

答案：正确答案：由变限积分求导法先求得
，再由反函数求导法得
，最后由复合函数求导法得
由原方程...

设
．

答案：正确答案：

将该式对x求导．右端先对t求导再乘上

得

求下列隐函数的微分或导数： (Ⅰ)设ysinx—cos(x一y)=0，求dy； (Ⅱ)设方程
确定y=y(x)，求y’与y"．

答案：正确答案：(Ⅰ)利用一阶微分形式不变性求得 d(ysinx)一dcos(x一y)=0，即 sinxdy+ycosxdx...

设f(x)=
(Ⅰ)求f’(x)；(Ⅱ)f’(x)在点x=0处是否可导?

答案： {{*HTML*}}正确答案：(Ⅰ)这是分段函数，分界点x=0，其中左边一段的表达式包括分界点，即x≤0，于是可得当x...

确定常数a和b，使得函数f(x)=
，处处可导．

答案： {{*HTML*}}正确答案：由f(x)在x=0处可导，得f(x)在x=0处连续．由表达式知，f(x)在x=0右连续．于...

{{HTML}}已知y=∫ ₁ ^t (1+
)du， ① 其中t=t(x)由
② 确定，求
．

答案：正确答案：