问答题

设f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，且f(0)·f(1)＞0，
试证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使f"(ξ)=ξf(ξ)．

答案：【证】令

由此可知f(c)≠0，否则f(1)=0，与题设f(0)f(1)＞0矛盾，不妨设f(c)＞...

你可能感兴趣的试题

计算
(k为常数)．

答案：【解】因k值不同，故分情况讨论：
当k＞1时，

即积分收敛；
当k=1时，

即积分发散；
当k＜1时，

即积分发散．

已知
求积分

答案：【解】(1)当α≠0，±1时，

(2)当α=1时，

(3)当α=-1时，

(4)当α=0时，

综上，

故

求不定积分

答案：【解】

求不定积分

答案：【解】

设函数f(x)连续，且
已知f(1)=1，求
的值．

答案：【解】令u=2x-t，则t=2x-u，dt=-du．
当t=0时，u=2x；当t=x时，u=x．故
...

设f(x)具有二阶导数，且f""(x)＞0．又设u(t)在区间[0，a](或[a，0])上连续．证明：

答案：【证】由泰勒公式

以x=u(t)代入并两边对t从0到a积分，其中暂设a＞0，于是有

设在区间[e，e ² ]上，数p，q满足条件px+q≥lnx，求使得积分
取得最小值的p，q的值．

答案：【解】要使
最小，直线y=px+q应与曲线y=lnx相切，从而可得到p，q的关系，消去一个参数．通过积分求出I...

设f(x)是在区间[1，+∞)上单调减少且非负的连续函数，

证明：(1)
存在；
(2)反常积分
与无穷级数
同敛散．

答案：由f(x)单调减少，故当k≤x≤k+1时，f(k+1)≤f(x)≤f(k)．两边从k到k+1积分，得

设xOy平面上有正方形D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}及直线l：x+y=t(t≥0)．若S(t)表示正方形D位于直线l左下方部分的面积，试求

答案：【解】由题设知

所以，
当0≤x≤1时，

当1＜x≤2时，

当x＞2时，

因此

设f(x)在[0，+∞)上连续，0＜a＜b，且
收敛，其中常数A＞0．证明：

答案：【证】

所以
[解析] 积分
对于A＞0收敛，由于

求曲线
的一条切线l，使该曲线与切线l及直线x=0，x=2所围成图形的面积最小．

答案：【解】因为

所以

在点

处的切线l方程为

即

所围面积

令

得t=1．
又S"(1)＞0，故t=1时，S取最小值，此时l的方程为

设D是由曲线y=sinx+1与三条直线x=0，x=π，y=0所围成的曲边梯形，求D绕x轴旋转一周所围成的旋转体的体积．

答案：【解】

如图所示，设曲线方程为
梯形OABC的面积为D，曲边梯形OABC的面积为D ₁ ，点A的坐标为(a，0)，a＞0．证明：

答案：【证】

因为

所以

设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内大于零，并且满足
(a为常数)，又曲线y=f(x)与x=1，y=0所围的图形S的面积为2．求函数y=f(x)，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．

答案：【解】由题设，当x≠0时，
据此并由f(x)在点x=0处的连续性，得
又由已知条件
即C=...

设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y"(x)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S ₁ ，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S ₂ ，并设2S ₁ -S ₂ 恒为1，求此曲线y=y(x)的方程．

答案：【解】曲线y=y(x)上点P(x，y)处的切线方程为Y-y=y"(X-x)．
它与x轴的交点为
由于...

设f(x)在(-∞，+∞)内连续，以T为周期，证明：

答案：【证】方法一

故

方法二

其中

代入上式得

设f(x)在(-∞，+∞)内连续，以T为周期，证明：

答案：【证】

设f(x)在(-∞，+∞)内连续，以T为周期，证明：
(即f(x)的全体原函数)周期为

答案：【证】只需注意

是f(x)的一个原函数．

计算不定积分

答案：【解】设

右边通分后不难解得：

于是

计算不定积分

答案：【解】

求定积分的值

答案：【解】令

对于任意的

有

用变量代换可得

所以

设常数0＜a＜1，求

答案：【解】

对后者作积分变换x=π-t，得

所以

已知
求

答案：【解】令

上式两边对a求导得

令y=2ax，则dy=2adx，所以

设a，b均为常数，a＞-2，a≠0，求a，b为何值时，使

答案：【解】

而

若b-a≠0，上述极限不存在，所以要使原等式成立，必须a=b．那么

所以

解得a=b=8e ^-2 -2．

直线y=x将椭圆x ² +3y ² =6y分为两块，设小块面积为A，大块面积为B，求
的值．

答案：【解】直线与椭圆的交点为(0，0)，

则

令y-1=sint，则

而

所以

由于椭圆面积为

故

从而有

设
求曲线y=f(x)与直线
所围成平面图形绕Ox轴旋转所成旋转体的体积．

答案：【解】先求f(x)的表达式，注意到函数e^x在x→+∞与x→-∞的极限，可知

...

设
，

(1)证明：y=f(x)为奇函数，并求其曲线的水平渐近线，
(2)求曲线y=f(x)与它所有水平渐近线及Oy轴围成图形的面积．

答案：【解】显然，g(0)=1．而当x≠0时由“1^∞”型极限得
其中，
则不论x是否...

设函数f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，且
证明：在(0，1)内存在一点c，使f"(c)=0．

答案：【证】由积分中值定理知，在
上存在一点c₁，使

从而有...

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续．证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得

答案：【证】记
则G(x)的原函数为

其中C为任意常数，
因为f(x)，g(x)在[...

设f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足
证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=2ξf(ξ)．

答案：【证】由积分中值定理，得
令F(x)=e^1-x²f(x)，则F(x...

设函数f(x)有连续导数，
证明：
F(2a)-2F(a)=f ² (a)-f(0)f(2a)．

答案：【证】

其中

所以

又

所以
F(2a)-2F(a)=f ² (a)-f(0)f(2a)．

f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0．证明：存在ξ∈[0，1]，使得

答案：【证】因为f"(x)在[0，1]上连续，所以f"(x)在[0，1]上有最小值和最大值，设为m，M，即有x₁

设f(x)在[a，b]上连续且严格单调增加．证明：

答案：【证】令
则

因为a≤x≤t，且f(x)在[a，b]上严格单调增加，所以f(...

设函数f"(x)在[a，b]上连续，且f(a)=0．证明：

答案：【证】因为

而

所以

设f(x)，g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0，f"(x)≥0，g"(x)≥0．证明：对任意a∈[0，1]，有

答案：【证】令
则
F"(a)=g(a)f"(a)-f"(a)g(1)=f"(a)[g(a)-g(1)]．...

设f(x)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且
证明：存在ξ∈(0，π)，使得f"(ξ)=0．

答案：【证】首先证明f(x)在(0，π)内必有零点．
因为在(0，π)内f(x)连续，且sinx＞0，所以，若无零点...

设函数f(x)在[a，b]上有连续导数，在(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(b)=0，
证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f"(ξ)=f"(ξ)；

答案：【证】由加强型的积分中值定理知，至少存在一点c∈(a，b)，使得

设G(x)=e

设函数f(x)在[a，b]上有连续导数，在(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(b)=0，
证明：在(a，b)内至少存在一点η，且η≠ξ，使得f""(η)=f(η)．

答案：【证】设F(x)=e^x[f"(x)-f(x)]，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，...

设f(x)在[a，b]上连续，且g(x)＞0．证明：存在一点ξ∈[a，b]，使

答案：【证】因f(x)在[a，b)]上连续，故m≤f(x)≤M
因为g(x)＞0，mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg...

设f(x)在区间[-a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)=0．写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；

答案：【解】对任意x∈[-a，a]，

设f(x)在区间[-a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)=0．证明：存在η∈[-a，a]，使

答案：【解】

因为f"(x)在[-a，a]上连续，由最值定理：m≤f"(x)≤M，x∈[-a，a]．

设f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，且f(0)·f(1)＞0，
试证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使f"(ξ)=ξf(ξ)．

答案：【证】令

由此可知f(c)≠0，否则f(1)=0，与题设f(0)f(1)＞0矛盾，不妨设f(c)＞...

f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，且
证明：至少存在一点ξ∈(0，1)，使f"(ξ)=(1-ξ ^-1 )f(ξ)．

答案：【证】令F(x)=xe ^-x f(x)，因

故在

上，对F(x)运用罗尔定理，可得

使f"(ξ)=(1-ξ ^-1 )f(ξ)．

设f(x)在[a，b]上连续且f(x)＞0，证明：

答案：【证】设

则F(a)=0，且

所以F(b)≥0，即

即

设a＜b，证明：

答案：【证】构造辅助函数

则F(a)=0，且

所以F(b)≤0，即

即

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且满足

证明：

答案：【证】当x∈[a，b)时，

令

则G"(x)=f(x)-g(x)，于是

设出售某种商品，已知某边际收益是R"(x)=(10-x)e ^-x ，边际成本是C"(x)=(x ² -4x+6)e ^-x ，且固定成本是2．求使这种商品的总利润达到最大值的产量和相应的最大总利润．

答案：【解】

于是利润L=R-C=3+(x²-x-5)e<...