填空题

=______．

答案：

，C为任意常数 [解析]

令

，解出

于是

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设函数f(x)在x=0处连续，且
，则曲线y=f(x)在x=0处的法线方程为______．

答案：

[解析] 由连续性，

于是f(0)=0．

曲线y=f(x)在x=0处的法线斜率为

，法线方程为

．

设y=y(x)由参数方
确定，则
=，
=．y=y(x)在任意点处的曲率K=__．

答案：

[解析]

y=y(x)的曲率

设y=y(x)由方程y=sin(x+y)确定，则
=______．

答案：

[解析] 将方程两边对x求导得

解出

再对x求导得

代入1+y"的表达式得

作变量替换x=e ^t ，方程
简化为______．

答案：

[解析] 由x=e ^t ，得t=lnx，于是

代入原方程得

即

设f(x)=x1 ⁰⁰ e ^x² ，则f ⁽²⁰⁰⁾ (0)=______．

答案：

[解析] 先写出f(x)的麦克劳林公式

取n=50，展开式中x ²⁰⁰ 项的系数是

．

设
，则f ⁽ⁿ⁾ f)(0)=______．

答案： (-1)^n-1(n-1)![(-2)ⁿ-3ⁿ][解析]...

设有界函数f(x)在(c，+∞)内可导，且
，则b=______．

答案： 0[解析] 本题可用反证法证明b=0，不妨设b＞0，取a满足0＜a＜b，由
，则存在x₀...

设函数f(x)在(a，+∞)内可导，且任意x∈(a，+∞)有|f"(x)|≤M(M常数)，则
=______．

答案： 0[解析] 任取定一点x₀∈(a，+∞)，对任意的x₀∈(a，+∞)，有

数列极限
=______．

答案： 2
[解析] 这是∞·0型的数列极限，转化为求
型的函数极限，然后用洛必达法则．

函数
的单调增区间是，单调减区间是，极值是，凹区间是，凸区间是__．

答案： (-∞，-1]，[3，+∞)是单调增区间．[-1，1)，(1，3]是单调减区间；f(-1)=-2是极大值，f(3)=0是...

设(1，3)是曲线y=x ³ +ax ² +bx+14的拐点，则a=，b=．

答案： -3，-9[解析] 求出y"=6x+2a，
(1，3)为该曲线拐点

y(1)=1+a+b...

设f(x)=xe ^x ，则f ⁽ⁿ⁾ (x)在x=处取极小值．

答案： -(n+1)；
[解析] 先用归纳法求f⁽ⁿ⁾(x)．
f"(x)=(x+1)...

设y=y(x)是由方程2y ³ -2y ² +2xy-x ² =1确定的，则y=y(x)的极值点是______．

答案： x=1[解析] 将方程2y³-2y²+2xy-x²=1...

设f(x)=3x ² +Ax ^-3 (x＞0)，A为正常数，则A至少为______时，有f(x)≥20(x＞0)．

答案： 64[解析] 为使f(x)≥20，只要3x⁵+A≥20x³即20x^...

函数f(x)=|4x ³ -18x ² +27|在[0，23上的最小值等于______，最大值等于

答案： 0；27[解析] 设φ(x)=4x³-18x²+27，则

设
，则f(x)的值域是______．

答案：

． [解析] 先考察f(x)的单调性．

因此，f(x)

的值域是

．

=______．

答案：

，C为任意常数[解析]

=______．

答案：

，C为任意常数 [解析]

令

，解出

于是

已知
，则f(x)=______．

答案：

，C为

常数 [解析] 将

两边求导得
f"(x ³ )=3x ²
令

，则

因此，

，C为

常数．

______．

答案：
，C为
常数[解析]

将sinx作如下分解
sinx=α(sin...

=______．

答案：

，C为

常数 [解析] 令

则x=t ² -1，dx=2tdt，于是

=______．

答案：

，C为

常数 [解析] 先用分部积分法

再作变量替换
令

，则x=ln(t ² -1)，

，于是

因此，

．

=______．

答案：

，C为

常数 [解析] 注意分解
1+x ⁶ =1+(x ² ) ³ =(1+x ² )(x ⁴ -x ² +1)

设a＞0，则
=______．

答案：

[解析]

由于

是奇函数，所以

由定积分的几何意义

(半径为a的半圆的面积)
所以

．

=______．

答案：

[解析]

而

因此，

设
(存在)，b≠0，则a=，b=．

答案： a=6，

[解析] 若a≤0，则I=+∞，所以a＞0，I为

型极限，由洛必达法则

因此，a=6，

．

设
，则f(x)的极值为，f(x)的拐点坐标为．

答案： 0；
[解析] 由f"(x)=e^-x⁴·2x=0，得x=0．

设f(x)是定义于x≥1的正值连续函数，则

的极小值点是x=______．

答案： 2 [解析]

x=2是极小值点(也是最小值点)．

设f(x)有连续的一阶导数，
，f(0)=0，f(a)=1，则F(2a)-2F(a)=______．

答案： 1 [解析]

(对第一个积分令2a-t=u)

(对第一个积分作分部积分)

=f ² (a)-f(2a)f(0)=1．

设
，则f(x)=______．

答案：
[解析] 设

则f(x)=x²-bx+2a
对上式两边...

则
=______．

答案：

[解析] 先对

换元，再计算．设x-2=t，dx=dt，当x=1时t=-1；当x=4时t=2．

=______．

答案：

[解析]

，x∈[0，π]则f(x)在[0，π]上的全体原函数是______．

答案： F(x)+C，C为

常数

[解析]

令

则f(x)在[0，π]上的全体原函数是
∫f(x)dx=F(x)+C，C为

常数．

=______．

答案： 1 [解析] 令x=-t，

因此

于是I=1．

=______．

答案：

[解析]

设|y|＜1，则
=______．

答案：

[解析] 被积函数分段表示

于是，以y为分界点用分段积分法得

设f(x)的原函数F(x)恒正，且F(0)=1，当x≥0时有f(x)F(x)=sin ² 2x，则f(x)______．

答案：

[解析] 已知f(x)F(x)=sin ² 2x，F"(x)=f(x)

由

设f(x)有一阶导数且满足
则f(x)=______．

答案： xsinx-cosx+C，C为任意常数
作变量替换tx=s，改写方程为

f(...

设f(x)=max{1，x ² )，则
=______．

答案：
[解析] 因为

所以这是求分段函数的变限积分。
当x＜-1时，<...

设星形线方程为
，则它所围成的面积A为，它的弧长L为，它绕x轴旋转而生成的旋转体体积V为__．

答案：

[解析]