填空题

设y ₁ =e ^x ，y ₂ =x ² 为某二阶齐次线性微分方程的两个特解，则该微分方程为_________．

答案：正确答案：yˊˊ+

=0

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设y ₁ =e ^x ，y ₂ =x ² 为某二阶齐次线性微分方程的两个特解，则该微分方程为_________．

答案：正确答案：yˊˊ+

=0

设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y ₁ (x)，y ₂ (x)与y ₃ (x)是二阶非齐次线性方程 yˊˊ+p(x)yˊ+q(x)y=f(x) ① 的3个解，且
≠常数，则式①的通解为________．

答案：正确答案：y=C ₁ (y ₁ －y ₂ )+C ₂ (y ₂ －y ₃ )+y ₁ ，其中C ₁ ，C ₂ 为任意常数

微分方程
满足初值条件y(0)=0，yˊ(0)=
的特解是________．

答案：正确答案：x=e ^y －e ^－y －

siny

设f(x)在(－∞，+∞)内有定义，且对任意x∈(－∞，+∞)，y∈(－∞，+∞)，f(x+y)=f(x)e ^y +f(y)e ^x 成立，且fˊ(0)存在等于a，a≠0，则f(x)=_________．

答案：正确答案：axe ^x

设f(x)在(－∞，+∞)上可导，且其反函数存在，记为g(x)．若 ∫ ₀ ^f(x) g(t)dt+∫ ₀ ^x f(t)dt=xe ^x －e ^x +1，则当－∞＜x＜+∞时f(x)=_________．

答案：正确答案：

微分方程yˊ+ytanx=cosx的通解为y=_________．

答案：正确答案：(x+C)cosx，其中C为任意常数

微分方程yˊˊ－4y=e ^2x 的通解为y=________．

答案：正确答案：C ₁ e ^－2x +(C ₂ +

x)e ^2x 其中C ₁ ,C ₂ 为任意常数

微分方程3e ^x tanydx+(1－e ^x )sec ² ydy=0的通解是________．

答案：正确答案：tany=C(e ^x －1) ³ ，其中C为任意常数

微分方程yˊtanx=ylny的通解是________．

答案：正确答案：y=e ^Csinx ，其中C为任意常数