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问答题
设总体X服从两参数的指数分布,其密度函数:
X
1
,X
2
,…,X
n
是来自总体X的简单随机样本.当θ=2时,求λ的最大似然估计
答案:
当θ=2时,总体X的密度函数为
样本的似然函数为
则
令
解得
故λ的最大似然估计量为
,其中
点击查看答案
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问答题
已知X
1
,X
2
,…,X
n
是来自总体X的容量为n的简单随机样本,其均值和方差分别为
与S
2
.若E(X)=μ,D(X)=σ
2
,求
与
的相关系数ρ;
答案:
因为X
1
,X
2
,…,X
n
是来自总体X的简单随机样本,所...
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问答题
设总体X服从两参数的指数分布,其密度函数:
X
1
,X
2
,…,X
n
是来自总体X的简单随机样本.求λ与θ的矩估计量
答案:
直接通过解矩法方程可求得矩估计量.
由于总体分布含有两个未知参数,因此令
其...
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问答题
已知X
1
,X
2
,…,X
n
是来自总体X的容量为n的简单随机样本,其均值和方差分别为
与S
2
.如果总体X服从正态分布N(0,σ
2
),计算Cov(X
1
,S
2
).
答案:
由于总体X~N(0,σ
2
),故E(X
i
)=0,D(X
i
...
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问答题
设总体X服从两参数的指数分布,其密度函数:
X
1
,X
2
,…,X
n
是来自总体X的简单随机样本.当θ=2时,求λ的最大似然估计
答案:
当θ=2时,总体X的密度函数为
样本的似然函数为
则
令
解得
故λ的最大似然估计量为
,其中
点击查看答案
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问答题
设总体X~N(0,σ
2
),参数σ>0未知,X
1
,X
2
,…,X
n
是取自总体X的简单随机样本(n>1),令估计量
验证
的无偏性;
答案:
由于X
1
,X
2
,…,X
n
相互独立且与总体X同分布,故
故
与
均为无偏估计。
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问答题
设总体X~N(0,σ
2
),参数σ>0未知,X
1
,X
2
,…,X
n
是取自总体X的简单随机样本(n>1),令估计量
求方差
并比较其大小.
答案:
根据抽样分布有关结论知
再由χ
2
分布随机变量的方差公式有:Y~χ...
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问答题
设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
记Z=X
2
+Y
2
.求:Z的密度函数;
答案:
当z≤0时,F(z)=0;
当z>0时,
于是
由此可以看出,Z服从参数为
的指数分布.
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问答题
设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
记Z=X
2
+Y
2
.求:E(Z),D(Z);
答案:
解法一:
由第一小题的结果(指数分布)可知,E(Z)=2σ
2
,D(...
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问答题
设X,Y的联合概率密度函数为
求常数A;
答案:
因为
所以有A=λ
2
.
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问答题
设X,Y的联合概率密度函数为
证明随机变量Y具有如下性质:对任意的s,t>0,有
P(Y>t+s|Y>s)=P(Y>t);
答案:
Y的边缘密度为
故对t>0,有
,从而
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问答题
设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
记Z=X
2
+Y
2
.求:P{Z≤1}.
答案:
或
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问答题
已知总体X是离散型随机变量,X可能取值为0,1,2. X
1
,X
2
,…,X
n
是来自总体X的简单随机样本,如果P{X=2}=(1-θ)
2
,E(X)=2(1-θ)(其中θ为未知参数,
).求X的概率分布;
答案:
为求X的概率分布,仅需求得概率p
0
=P{X=0},p
1
=P{X=1}.由于<...
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问答题
设X,Y的联合概率密度函数为
求E(X).
答案:
因为
则
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问答题
已知总体X是离散型随机变量,X可能取值为0,1,2. X
1
,X
2
,…,X
n
是来自总体X的简单随机样本,如果P{X=2}=(1-θ)
2
,E(X)=2(1-θ)(其中θ为未知参数,
).求θ的矩估计量
,并讨论其无偏性;
答案:
由
,即
解得θ的矩估计量
由于
故
为θ的无偏估计.
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问答题
已知总体X是离散型随机变量,X可能取值为0,1,2. X
1
,X
2
,…,X
n
是来自总体X的简单随机样本,如果P{X=2}=(1-θ)
2
,E(X)=2(1-θ)(其中θ为未知参数,
).从总体X中抽取容量为8的一组样本,其样本值为2,1,2,0,2,0,1,2.求θ的最大似然估计值
答案:
已知总体X的概率分布p
i
=P{X=x
i
},故样本值x
i
(1≤i≤8)的似然函数为
令
,解得θ的最大似然估计值
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问答题
设X
1
,X
2
,…,X
n
为来自总体X的简单随机样本,而X~B(1,p),0<p<1,记
和
求
的概率分布;
答案:
X~B(1,p),故X有分布
从而
所以
即
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问答题
设X
1
,X
2
,…,X
n
为来自总体X的简单随机样本,而X~B(1,p),0<p<1,记
和
证明:
答案:
因为X
i
的取值是0或1,故
所以
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问答题
设随机变量X在[-a,a]上服从均匀分布,a>1,求:
(1)E(min{|x|,1});
(2)E(max{|x|,1}).
答案:
由题意,
(1)
(2)
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问答题
设总体
,X
1
,X
2
,…,X
50
为取自X的一个样本,试求:
(1)
的数学期望和方差;
(2)S
2
的数学期望;
(3)
答案:
(1)
(2)因为样本方差S
2
为总体方差的无偏估计,故
(3)
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问答题
设X
1
,X
2
,…,X
n
为来自总体X的简单随机样本,而X~B(1,p),0<p<1,记
和
求E(T)的值.
答案:
也可以直接计算E(T).因为
,而
,故
T=(n-1)S
2
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问答题
设X
1
,X
2
,…,X
n
为总体的一个样本,总体X的密度函数为
其中θ>0,求参数θ和μ的极大似然估计量.
答案:
似然函数为
而
因为
,且μ≥x
...
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