问答题

求下列函数的极值．
．

答案：，令f’(x)=0，得驻点x=1，不可导点x=0．列表讨论(见下表)．

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证明下列等式或不等式．arcsinx+arccosx=
；

答案：证明一个函数是常数函数，分为两步：第一步先证其为常数，即证其导为0；第二步，再用特殊点求常数．设y=arcsinx+a...

证明下列等式或不等式．
(x＞1)．

答案：设，由于，在x＞1时恒有y’＞0，所以函数在x＞1上是单调递增的函数．而y(1)=0，从而y(x)＞y(1)=0，即ln...

已知函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．试证明：存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1-ξ

答案：证明令g(x)=f(x)+x-1，则g(x)在[0，1]上连续，且 g(0)=-1＜0，g(1)=1＞0 根据连续函数...

求下列函数的极值．y=e^xcosx

答案： y’=e^xcosx-e^xsinx=e^x(cosx-si...

证明下列等式或不等式．求函数
在[0，3]上的最大值和最小值．

答案：因为，令y’=0，得驻点x=1，不可导点x=0，x=2．由于y(0)=0，y(2)=0，y(3)=，所以最大值为y(3)...

已知函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．试证明：存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ζ)-1．

答案：证明由于函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，根据拉格朗日中值定理，存在η∈(0，ξ)(0，1)，...

求下列函数的极值．
．

答案：，令f’(x)=0，得驻点x=1，不可导点x=0．列表讨论(见下表)．

证明下列等式或不等式．求函数
的极值．

答案：为方便求导，把函数改写成指数对数形式：，由于令y’=0，得x=e．当x＜e时，y’＞0；当x＞e时，y’＜0．说明...

已知函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．试证明：设函数f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导．证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使

答案：证明作辅助函数F(x)=xf(x)，则F(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，满足拉格朗日中值定理条件，从...

求下列函数的极值．试证明：如果函数y=ax³+bx²+cx+d满足条件b²-3ac＜0，那么这个函数没有极值．

答案：证明：因y’=3ax²+2bx+c，要使可导函数没有极值，必使y’=0恒不成立．
即使3a...

证明下列等式或不等式．求曲线y=ax³+bx²+cx+d，使得(-2，44)为驻点，(1，-10)为拐点．

答案：求曲线y=ax³+bx²+cx+d，使得(-2，44)为驻点，(1，-10)...

已知函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．试证明：设f(x)在闭区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0．试证明：在(a，b)内，一定存在kf(x)+f’(x)的零点．

答案：证明设F(x)=e^kxf(x)，则F(x)在闭区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且

求下列函数的极值．试问a为何值时，函数f(x)=asinx+
sin3x在
处取得极值它是极大值还是极小值并求此极值．

答案： f’(x)=acosx+cos3x，当时，f’(x)=0，得acos+cosπ=0，从而a=2．又f"(x)=-asi...

证明下列等式或不等式．描绘函数
的图形．

答案：描绘函数的图形．
(1)函数y=f(x)定义域为(-∞，-1)∪(-1，+∞)．x=-1为间断点．
...

已知函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．试证明：设f(x)在闭区间[0，1]上有二阶连续导数，且f’(0)=f’(1)=0．试证明：至少存在一点c∈(0，1)，使cf"(c)+
f’(c)=0．

答案：证明设，由于F(0)=0，，由题意，F(x)在闭区间[0，1]上连续且可导．由罗尔定理知至少存在一点c∈(0，1)，使...

求下列函数的极值．问函数y=x²-
(x＜0)在何处取得最小值并求出最小值．

答案：，令y’=0得x=-3．又．所以在x=-3时y有最小值，其值为27．

证明下列等式或不等式．欲用围墙围成面积为216m²的一块巨型的地，并在正中间用一堵墙将其隔成两块．问这块土地的长和宽选取多大尺寸时，才能使所用建筑材料最省

答案：设s为围墙总长，长为x，宽为y．则x·y=216所以．因为s=2x+3y=2x+，所以令，得x=18(为x=-18舍去...

已知函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．试证明：设函数φ(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，证明在(a，b)内至少存在一点ξ，使
．

答案：证明取F(x)=(b-x)[φ(x)-φ(a)]，F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F(a)=F(b)...

证明下列等式或不等式．求曲线
在它与直线y=x的交点处的切线方程．

答案：由得交点(1，1)．再由，得切线方程为

求下列函数的极值．求函数f(x)=
，x∈[-3，3]的最大值和最小值．

答案：由得驻点x=-2，不可导点x=-5，x=1．而f(-3)=4，f(-2)=，f(1)=0，f(3)=．所以最大值是f(3...

已知函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．试证明：设
=k，求
．

答案：由拉格朗日中值定理知，f(x+a)-f(x)=f’(ξ)a，其中，ξ介于x，x+a之间，故当x→∞时，ξ→∞，因此

求下列函数的极值．求函数y=x²e^-x的凹凸区间和拐点．

答案：因为y’=2xe^-x-x²e^-x=e^-x

证明下列等式或不等式．讨论
的单调性．

答案：定义域为x≠-1．
由，得x=0，x=-2．
列表讨论(见下表)．

求下列函数的极值．描绘函数y=e^-x²的图形．

答案：对于
(1)定义域为R．
(2)易知其为偶函数，图像关于y轴对称，且有
y’=-2xe

已知函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．试证明：设f(x)为连续函数，若对任意区间[a，b]都有
，证明f(x)恒等于零．

答案：证明设f(x₀)≠0，x∈[a，b]，不妨设f(x₀)＞0，由于f(x)为...

求下列函数的极值．某工厂每天生产x支产品的总成本为C(x)=
-32x+100(元)．该产品独家经营，市场需求规律为x=75-3P，其中P为每支售价，问每天生产多少支时获利润最大此时的每支售价为多少

答案：设利润为L(x)，，则
L(x)=px-C(x)=x²+32x-75
求导得L’(...

已知函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．试证明：设f(x)为区间[a，b]上单调减少的连续函数．证明：

．

答案：证明方法一将欲证的定积分不等式化为．
设，则

其中，a＜ξ＜x，可知F(x)在[a，b]上单...

求下列函数的极值．设计一个容积为Vm³的圆柱形无盖容器，已知每平方米侧面材料的价格是底面材料价格的1.5倍，问容器的底半径r与高h为多少时，材料总造价y最小

答案：在不影响问题解答的前提下，不妨设底面材料价格为1个单位．则
y=πr²+2πrh·1.5<...

求下列函数的极值．欲围造一个面积为15000m²的长方形运动场，其正面围墙材料造价为600元/m²，其余三面围墙材料造价为300元/m²，试问正面长为多少米才能使材料费最少(设围墙的高相同)

答案：设运动场正面围墙长为xm，则宽为m．四面围墙的高记为hm，四面围墙所用材料费用f(x)来表示，则

令f...

求下列函数的极值．由拉格朗日中值定理有f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)，其中a＜ξ＜b．讨论求

答案：可能存在，也可能不存在．在f"(x)在x=a连续的条件下，有=f"(a)．错误解法：由拉格朗日中值定理知，存在(a，...

求下列函数的极值．要产生因式f’(x)-λf(x)，如何拼凑要产生因式λf’(x)-f(x)，如何拼凑要产生因式λf’(x)+f(x)，又如何拼凑

答案：要产生因式f’(x)-λf(x)，只须用(f(x)e^-λx)’=(f’(x)-λf(x))e