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问答题
(2008年)设f(χ)是区间[0，＋∞)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)＝1．对任意的t∈[0，＋∞)，直线χ＝0，χ＝t，曲线y＝f(χ)以及χ轴所围成的曲边梯形绕z轴旋转一周生成一旋转体．若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(χ)的表达式．
答案：
正确答案：旋转体的体积V＝π∫0tf2(χ)dχ，侧面...
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问答题
(1998年)从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系，设仪器在重力的作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k＞0)．试建立y与v所应满足的微分方程，并求出函数关系式．
答案：
正确答案：取沉放点为原点o，oy轴方向铅直向下，则由牛顿第二定律得 m
＝mg－βρ－kv 这是y对t的二阶可...
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问答题
(1998年)设y＝y(χ)是一向上凸的连续曲线，其上任一点(χ，y)处的曲率为
(1998年)设y＝y(χ)是一向上凸的连续曲线，其上任一点(χ，y)处的曲率为
，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y＝χ＋1，求该曲线方程．并求函数y＝y(χ)的极值．
答案：
正确答案：因曲线向上凸，则y〞＜0；由题设有
化简，即为y〞＝－(1＋y′2) 曲线经过...
化简，即为y〞＝－(1＋y′2) 曲线经过...
的通解．
令y＝χu，得
问答题
(1999年)设函数y(χ)(χ≥0)二阶可导，且y′(χ)＞0，y(0)＝1．过曲线上任意一点P(χ，y)作该曲线的切线及χ轴的垂线，上述两直线与χ轴所围成的三角形的面积记为S 1 ，区间[0，χ]上以y＝y(χ)为曲边的曲边梯形面积记为S 2 ，并设2S 1 －S 2 恒为1，求此曲线y＝y(χ)的方程．
答案：
正确答案：曲线y＝y(χ)上点P(χ，y)处切线方程为 Y－y＝y′(χ)(X－χ) 它与χ轴的交点为(χ－
...
...
问答题
(2000年)某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污物A的污水量为
(2000年)某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污物A的污水量为
，流入湖泊内不含A的水量为
，流出湖泊的水量为
．已知1999年底湖中A的含量为5m
0
，超过国家规定指标，为了治理污染，从2000年起，限定排入湖泊中含A污水的浓度不超过
．问至多需经过多少年，湖泊中污染物A的含量降至m
0
以内(注：设湖水中的浓度是均匀的)．
答案：
正确答案：设从2000年初(令此时t＝0)开始，第t年湖泊中污染物A的总量为m，浓度为
，则在时间间隔[t，t...
，则在时间间隔[t，t...
问答题
(2001年)设函数f(χ)，g(χ)满足f′(χ)＝g(χ)，g′(χ)＝2e
χ
－f(χ)，且f(0)＝0，g(0)＝2，求
(2001年)设函数f(χ)，g(χ)满足f′(χ)＝g(χ)，g′(χ)＝2e
χ
－f(χ)，且f(0)＝0，g(0)＝2，求
答案：
正确答案：由f′(χ)＝g(χ)得，f〞(χ)＝g′(χ)＝2e
χ
－f(χ) 于是有
问答题
(2001年)设L是一条平面曲线，其上任意一点P(χ，y)(χ＞0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(
(2001年)设L是一条平面曲线，其上任意一点P(χ，y)(χ＞0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(
，0)． (1)试求曲线L的方程； (2)求L位于第一象限部分的一条切线．使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小．
答案：
正确答案：(1)设曲线L过点P(χ，y)的切线方程为Y－y＝y′(X－χ)，令X＝0，则得该切线在y轴上的截距为y－χy...
问答题
(2001年)一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数K＞0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r
0
的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的
(2001年)一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数K＞0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r
0
的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的
，问雪堆全部融化需要多少小时
答案：
正确答案：设雪堆在时刻t的体积V＝
πr3，侧面积S＝2πr2，由...
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问答题
(2002年)求微分方程χdy＋(χ－2y)dχ＝0的一个解y＝y(χ)，使得由曲线y＝y(χ)与直线χ＝1，χ＝2以及χ轴所围成平面图形绕χ轴旋转一周的旋转体体积最小．
答案：
正确答案：原方程可化为
＝－1． 则y＝
由曲线y＝χ＋Cχ2与直线χ＝1，χ...
＝－1． 则y＝
由曲线y＝χ＋Cχ2与直线χ＝1，χ...
问答题
(2003年)设函数y＝y(χ)在(－∞，＋∞)内具有二阶导数，且y′≠0，χ＝χ(y)是y＝y(χ)的反函数． (1)试将χ＝χ(y)所满足的微分方程
(2003年)设函数y＝y(χ)在(－∞，＋∞)内具有二阶导数，且y′≠0，χ＝χ(y)是y＝y(χ)的反函数． (1)试将χ＝χ(y)所满足的微分方程
＝0变换为y＝y(χ)满足的微分方程； (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)＝0，y′(0)＝
的解．
答案：
正确答案：由反函数导数公式知
上式两端对y求导得
将
代入原方程得 y〞－y＝sinχ 该...
上式两端对y求导得
将
代入原方程得 y〞－y＝sinχ 该...
问答题
(2003年)设位于第一象限的曲线y＝f(χ)过点
(2003年)设位于第一象限的曲线y＝f(χ)过点
，其上任一点P(χ，y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被χ轴平分． (1)求曲线y＝f(χ)的方程； (2)已知曲线y＝sinχ在[0，π]上的弧长为l，试用l表示曲线y＝f(χ)的弧长s．
答案：
正确答案：(1)曲线y＝f(χ)在点P(χ，y)处的法线方程为 Y－y＝－
(X－χ) 令X＝0，则Y＝y＋<...
(X－χ) 令X＝0，则Y＝y＋<...
问答题
(2003年)有一平底容器，其内侧壁是由曲线χ＝φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m．根据设计要求，当以3m
3
／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm
3
／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)
(1)根据t时刻液面的面积，写出t与φ(y)之间的关系式；
(2)求曲线χ＝φ(y)的方程．
(2003年)有一平底容器，其内侧壁是由曲线χ＝φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m．根据设计要求，当以3m
3
／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm
3
／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)
(1)根据t时刻液面的面积，写出t与φ(y)之间的关系式；
(2)求曲线χ＝φ(y)的方程．
答案：
正确答案：(1)设t时刻液面高度为y，则由题设知此时液面面积为 πφ2(y)＝4π＋πt 从而t＝...
问答题
(2005年)用变量代换χ＝cost(0＜t＜π)化简微分方程(1－χ 2 )y〞－χy′＋y＝0，并求其满足y｜ χ＝0 ＝，y′｜ χ＝0 ＝2的特解．
答案：
正确答案：
其特征方程为λ2＋1＝0，解得λ＝±i，于是此方程的通解为 y＝C...
其特征方程为λ2＋1＝0，解得λ＝±i，于是此方程的通解为 y＝C...
问答题
(2004年)某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下． 现有一质量为9000 kg的飞机，着陆时的水平速度为700km／h．经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k＝6．0×10 6 )．问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少
答案：
正确答案：由题设，飞机的质量m＝9000kg，着陆时的水平速度v0＝700km／h．从飞机接触跑道...
问答题
(2007年)求微分方程y〞(χ＋y ′2 )＝y′满足初始条件y(1)＝y′(1)＝1的特解．
答案：
正确答案：令y′＝P，则y〞＝
，原方程化为
由y′(1)＝1知C
1
＝0，则χ＝P
2
由y(1)＝1知，C
2
＝
．
，原方程化为
由y′(1)＝1知C
1
＝0，则χ＝P
2
由y(1)＝1知，C
2
＝
．
问答题
(2008年)设f(χ)是区间[0，＋∞)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)＝1．对任意的t∈[0，＋∞)，直线χ＝0，χ＝t，曲线y＝f(χ)以及χ轴所围成的曲边梯形绕z轴旋转一周生成一旋转体．若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(χ)的表达式．
答案：
正确答案：旋转体的体积V＝π∫0tf2(χ)dχ，侧面...
问答题
(2009年)设非负函数y＝y(χ)(χ≥0)满足微分方程χy〞－y′＋2＝0．当曲线y＝y(χ)过原点时，其与直线χ＝1及y＝0围成的平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体的体积．
答案：
正确答案：在方程χy〞－y′＋2＝0中令y′＝P，则y〞＝P′且 χP′－P＋2＝0
由于曲线过原点，则C
2
＝0
由于曲线过原点，则C
2
＝0
问答题
(2009年)设y＝y(χ)在区间(－π，π)内过点(
(2009年)设y＝y(χ)在区间(－π，π)内过点(
)的光滑曲线．当－π＜χ＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点；当0≤χ＜π时，函数y(χ)满足y〞＋y＋χ＝0．求函数y(χ)的表达式．
答案：
正确答案：曲线在(χ，y)处的法线方程为 Y－y＝－
(X－χ) 由于当－π＜χ＜0时，法线过原点，所以有y＝...
(X－χ) 由于当－π＜χ＜0时，法线过原点，所以有y＝...
问答题
(2010年)设函数y＝f(χ)由参数方程
(2010年)设函数y＝f(χ)由参数方程
所确定，其中φ(t)具有2阶导数，且φ(1)＝
，φ′(1)＝6，已知
，求函数φ(t)．
答案：
正确答案：
由u｜t＝1＝φ′(1)＝6，知C1＝0，于是φ′(t...
由u｜t＝1＝φ′(1)＝6，知C1＝0，于是φ′(t...
问答题
(2011年)设函数y(χ)具有二阶导数，且曲线l：y＝y(χ)与直线y＝χ相切于原点．记a为曲线l在点(χ，y)处切线的倾角，若
(2011年)设函数y(χ)具有二阶导数，且曲线l：y＝y(χ)与直线y＝χ相切于原点．记a为曲线l在点(χ，y)处切线的倾角，若
，求y(χ)的表达式．
答案：
正确答案：由于y′＝tanα，即α＝＝arctany′，所以
于是有
＝y′，即y〞＝y′(1＋y<...
于是有
＝y′，即y〞＝y′(1＋y<...
问答题
(2012年)已知函数f(χ)满足方程f〞(χ)＋f′(χ)－2f(χ)＝0及f〞(χ)＋f(χ)＝2e χ ． (Ⅰ)求f(χ)的表达式； (Ⅱ)求曲线y＝f(χ 2 )∫ 0 χ f(－t 2 )dt的拐点．
答案：
正确答案：(Ⅰ)
得f′(χ)－3f(χ)＝－2eχ，因此 f(χ)＝e∫3d...
得f′(χ)－3f(χ)＝－2eχ，因此 f(χ)＝e∫3d...
问答题
(2014年)设函数f(u)具有2阶连续导数，z＝f(e
χ
cosy)满足
(2014年)设函数f(u)具有2阶连续导数，z＝f(e
χ
cosy)满足
＝(4z＋e
χ
cosy)e
2χ
若f(0)＝0，f′(0)＝0，求f(u)的表达式．
答案：
正确答案：令eχcosy＝u，则
将以上两个式子代入
＝(4z＋eχ...
将以上两个式子代入
＝(4z＋eχ...
问答题
(2015年)已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比．现将一初始温度为120℃的物体在20℃恒温介质中冷却，30min后该物体温度降至30℃，若要将该物体的温度继续降至21℃，还需冷却多长时间
答案：
正确答案：设t时刻物体的温度为T(t)(℃)，由题设知
＝k(T－20) 解该方程得T(t)＝20＋Ce
＝k(T－20) 解该方程得T(t)＝20＋Ce
