问答题

在区间[0，a]上|f""(x)|≤M，且f(x)在(0，a)内取得极大值．证明：
|f(0)|+|f"(a)|≤Ma．

答案：【证】f(x)在(0，a)内取得极大值，不妨设f"(c)=0．f"(x)在[0，c]与[c，a]之间分别使用拉格朗日中值...

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设f(x)在x ₀ 处n阶可导．且f ^(m) (x ₀ )=0(m=1，2，…，n-1)，f ⁽ⁿ⁾ (x ₀ )≠0(n≥2)．证明：
(1)当n为偶数且f ⁽ⁿ⁾ (x ₀ )＜0时，f(x)在x ₀ 处取得极大值；
(2)当n为偶数且f ⁽ⁿ⁾ (x ₀ )＞0时，f(x)在x ₀ 处取得极小值．

答案：【证】n为偶数，令n=2k，构造极限

当f ^(2k) (x ₀ )＜0时，

当f ^(2k) (x ₀ )＞0时，

设f(x)在x ₀ 处n阶可导，且f ^(m) (x ₀ )=0(m=1，2，…，n-1)，f ⁽ⁿ⁾ (x ₀ )≠0(n＞2)．证明：当n为奇数时，(x ₀ ，f(x ₀ ))为拐点．

答案：【证】n为奇数，令n=2k+1，构造极限

当f^(2k...

设f(x)在[a，b]上连续，a＜x ₁ ＜x ₂ ＜…＜x _n ＜b．试证：在[a，b]内存在ξ，使得

答案：【解】因为f(x)在[a，b]上连续，所以m≤f(x)≤M，其中m，M分别为f(x)在[a，b]上的最小值和最大值．

设f(x)在闭区间[-1，1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f"(0)=0．证明：在[-1，1]内存在ξ，使得f"""(ξ)=3．

答案：【证】

取x₀=0，x=1代入，

取x

设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．试证：必存在ξ∈(0，3)，使f"(ξ)=0．

答案：【证】函数f(x)在[0，3]上连续，则f(x)在[0，2]上连续，那么其在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是

设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，g""(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0．证明：在(a，b)内，g(x)≠0；

答案：【证】设c∈(a，b)，g(c)=0．
由g(a)=g(c)=g(b)=0，g(x)在[a，c]，[c，b]上...

设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，g""(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0．证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使

答案：【证】F(x)=f(x)g"(x)-f"(x)g(x)在[a，b]上运用罗尔定理，
F(a)=0，F(b)=0，故

求函数f(x)=nx(1-x) ⁿ 在[0，1]上的最大值M(n)及

答案：【解】容易求得f"(x)=n[1-(n+1)x](1-x)^(n-1)，f"(x)=n^2<...

在区间[0，a]上|f""(x)|≤M，且f(x)在(0，a)内取得极大值．证明：
|f(0)|+|f"(a)|≤Ma．

答案：【证】f(x)在(0，a)内取得极大值，不妨设f"(c)=0．f"(x)在[0，c]与[c，a]之间分别使用拉格朗日中值...

设f(x)在闭区间[1，2]上可导，证明：
使f(2)-2f(1)=ξf"(ξ)-f(ξ)．

答案：【解】把所证等式ξ改为x，得
xf"(x)-f(x)=f(2)-2f(1)，两边同除以x²

f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f"(x)≠0．证明：
ξ，η∈(a，b)，使得

答案：【证】因为

两式相比，得

设
，且f""(x)＞0．证明：f(x)＞x．

答案：【证】因
得f(0)=0，f"(0)=1．
因f(x)二阶可导，故f(x)在x=0处的一阶泰勒公式成...

设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，且f(a)=f(b)=g(a)=0．证明：
ξ∈(a，b)，使f""(ξ)g(ξ)+2f"(ξ)g"(ξ)+f(ξ)g""(ξ)=0．

答案：【证】令F(x)=f(x)g(x)，在x=a点展开泰勒公式．

令x=b，代入①式，则<...

设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f"(a)=f"(b)=0．证明：
ξ∈(a，b)，使

答案：【证】将f(x)在x=a，x=b处展开泰勒公式．

令
②-①得
<...

设f(x)=arcsinx，ξ为f(x)在[0，t]上拉格朗日中值定理的中值点，0＜t＜1，求极限

答案：【解】因f(x)=arcsinx在[0，t]上连续，在(0，t)内可导，对它用拉格朗日中值定理，得

若x＞-1．证明：
当0＜α＜1时，有(1+x) ^α ＜1+αx；当α＜0或α＞1时，有(1+x) ^α ＞1+αx．

答案：【证】令f(x)=(1+x)^α，则有f"(x)=α(1+x)^α-1，f"(x...

求证：当x＞0时，不等式
成立．

答案：【证】设

则

因为

所以f(x)单调递减，且当0＜x＜+∞时，f(x)＞f(+∞)=0，即

利用导数证明：当x＞1时，

答案：【证】设f(x)=(1+x)ln(1+x)-xlnx，有f(1)=2ln2＞0．
由
知，f(x)单...

设x∈(0，1)，证明下面不等式：(1+x)ln ² (1+x)＜x ² ；

答案：【证】令φ(x)=x²-(1+x)ln²(1+x)，有φ(0)=0，且

设x∈(0，1)，证明下面不等式：

答案：【证】令
，则有

由上小题得，当x∈(0，1)时f"(x)＜0，知f(x)单...

求证：当x＞0时，(x ² -1)lnx≥(x-1) ² ．

答案：【证】设f(x)=(x²-1)lnx-(x-1)²，所以f(1)=0．

证明：
其中

答案：【证】由
有

令
只需证明f(x)≤1．由f(0)=1，只需证

求使不等式
对所有的自然数n都成立的最大的数α和最小的数β．

答案：【解】已知不等式等价于
即

令
则

设函数f(x)在(-∞，+∞)内二阶可导，且f(x)和f""(x)在(-∞，+∞)内有界．证明：f"(x)在(-∞，+∞)内有界．

答案：【证】存在正常数M₀，M₂，使得对
恒有
|f(x)|≤...

设n为自然数，试证：

答案：【证】右端不等式等价于证明

即

设
则

已知f(x)二阶可导，且f(x)＞0，f(x)f""(x)-[f"(x)] ² ≥0(x∈R)．证明：

答案：【证】记g(x)=lnf(x)，则

故

即

已知f(x)二阶可导，且f(x)＞0，f(x)f""(x)-[f"(x)] ² ≥0(x∈R)．若f(0)=1，证明：f(x)≥e ^f"(0)x (x∈R)．

答案：【证】

即f(x)≥e ^f"(0)x ．

设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f"(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0．试应用拉格朗日中值定理证明：

f(a+b)≤f(a)+f(b)，
其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．

答案：【证】方法一用拉格朗日中值定理．
当a=0时，等号成立；当a＞0时，由于f(x)在区间[0，a]及[b，a+...

证明：当x＞0时，有

答案：【证】方法一用拉格朗日中值定理．
因为
所以
且函数f(t)=lnt在[x，1+x]上满...

证明：当0＜a＜b＜π时，bsinb+2cosb+πb＞asina+2cosa+πa．

答案：【证】令F(x)=xsinx+2cosx+πx，只需证明F(x)在(0，π)上单调递增．
F"(x)=sinx...

设b＞a＞e，证明：a ^b ＞b ^a ．

答案：【证】设

则

其中lnx＞lne=1，所以，f"(x)＜0，即函数f(x)单调递减．因此，当b＞a＞e时，

证明：当x＞0时，不等式
成立．

答案：【证】构造辅助函数

则f(0)=0，且

由题设条件很难确定

的符号，但是

所以

从而，当x＞0时，

即

证明：当
时，不等式
成立．

答案：【证】当
时，
而cosx＜0，所以不等式成立．
当
时，构造辅助函数

已知某种商品的需求量x对价格p的弹性为η=-2p ² ，而市场对该商品的最大需求量为1(万件)．(1)确定需求函数；(2)若价格服从[1，2]上的均匀分布，计算期望收益值．

答案：【解】(1)由弹性公式：
即
两边积分有

由x(0)=1得c=1，...

一商家销售某种商品的价格满足关系p=7-0.2x(万元/单位)，x为销售量，成本函数为C=3x+1(万元)，其中x服从正态分布N(5p，1)，每销售一单位商品，政府要征税t万元，求该商家获得最大期望利润时的销售量．

答案：【解】收益为R=x·p，利润为L=R-C-T，其中税收T=tx．于是
L=x·p-(3x+1)-t·x=x(7...

设需求函数为p=a-bQ，总成本函数为
其中a，b＞0为待定的常数，已知当边际收益MR=67，且需求价格弹性
时，总利润是最大的．求总利润最大时的产量．并确定a，b的值．

答案：【解】总收益：R=Qp=aQ-bQ²，

于是有 L"...

某集邮爱好者有一个珍品邮票，如果现在(t=0)就出售，总收入为R ₀ 元．如果收藏起来待来日出售，t年末总收入为R(t)=R ₀ e ^ξ(t) ，其中ξ(t)为随机变量，服从正态分布
，假定银行年利率为r，并且以连续复利计息．试求收藏多少年后，再出售可使得总收入的期望现值最大，并求r=0.06时，t的值．

答案：【解】由连续复利公式，t年末售出总收入R的现值为：A(t)=R·e^-rt．
于是A(t)...