问答题

求下列方程所确定的隐函数的导数．y ³ =x+arccos(xy)

答案：由

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求下列方程所确定的隐函数的导数．cos(xy)=x

答案：由-sin(xy)(y+xy")=1，得

求下列方程所确定的隐函数的导数．y-sin-cos(x-y)=0

答案：由y"-cosx+sin(x-y)(1-y")=0，得

证明，当x＞0时，

答案：证设
，f(0)=0，由

在(0，+∞)，f"(x)＞0，故f(x)在(...

求下列方程所确定的隐函数的导数．

答案：由

求下列方程所确定的隐函数的导数．e ^y =xy

答案：由e"y"=y+xy"，得

设函数z=z(x)由方程xz=e ^z 所确定，求
．

答案：由z+xz _x "=e ^z z _x "，得

求下列方程所确定的隐函数的导数．sin(x ² +y)=xy

答案：由cos(x ² +y)(2x+y")=y+xy"，得

设函数f(x)=e ^x ，g(x)=sinx，且y=f[g"(x)]，求
．

答案：因g"(x)=cosx，故y=f(cosx)=e ^cosx ，

求下列方程所确定的隐函数的导数．y ³ =x+arccos(xy)

答案：由

用对数求导法求下列函数的导数．

答案：由

对y求导，

整理得

用对数求导法求下列函数的导数．y=(sinx) ^cosx

答案： y"=-(sinx)^1+cosxln(sinx)+cos²x(sinx)

设函数f(x)=xe ^x ，求f"(v)．

答案： f"(x)=(x+1)e ^x ，f"(x)=(x+2)e ^x ，f"(0)=2．

用对数求导法求下列函数的导数．y=(lnx) ^lnx

答案：

用对数求导法求下列函数的导数．

答案：

求下列函数的一阶微分．y=π ^e +e ^x +x ^π

答案： dy=(e ^x +πx ^π-1 )dx．

用对数求导法求下列函数的导数．

答案：

求下列函数的一阶微分．y=π ^e e ^x ^π

答案： dy=π ^e e ^x x ^π-1 (x+π)dx．

求下列函数的一阶微分．

答案：

求下列函数的一阶微分．x ³ +y ³ -3axy=0(a＞0，是常数)

答案：

计算

答案：解1 该式为“

”型，由洛必达法则，有

解2 原式=

计算

答案：解

计算

答案：解该式为“∞-∞”型，先通分后分为两项乘积：

对前一因式用初等办法求极限

对后一因式用洛必达法则求极限

故

计算

答案：解未定式为“

”型，使用洛必达法则得

计算

答案：解未定式为“∞·0”型，将其化为“

”型，再应用洛必达法则求极限．

计算

答案：解

计算

答案：解此极限为“

”型，但分子和分母的导数之比的极限不是A(或∞)，即

极限不存在，此时，洛必达法则失效．事实上，

求下列函数的单调增减区间．f(x)=2x ³ -6x ² -18x+l

答案：解 f(x)的定义域为(-∞，+∞)，f"(x)=6x²-12x-18=6(x+1)(x-3)．<...

求下列函数的单调增减区间．f(x)=2x ² -lnx

答案：解 f(x)的定义域为(0，+∞)．

令f"(x)=0，得驻点
，舍去．

判断函数f(x)=x+arctanx的增减性．

答案：解 f(x)=x+arctanx的定义域是(-∞，+∞)．

故f(x)=x+arctanx在(-∞，+∞)内单调增加．

证明当x≥0时，x≥arctanx．

答案：证设f(x)=x-arctanx(x≥0)，f(0)=0-arctan0=0
由
，可知f(x)=...