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问答题
设a＞0，讨论方程ae x =x 2 根的个数．
答案：
正确答案：aex=x2等价于x2e－x
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证明：数列{a
n
)有界．
问答题
设f(x)在[a，b]上连续，任取x i ∈[a，b](i=1，2，…，n)，任取k i ＞0(i=1，2，…，n)，证明：存在ξ∈[a，b]，使得k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+…+k n f(x n )=(k 1 +k 2 +…+k n )f(ξ)·
答案：
正确答案：因为f(x)在[a，b]上连续，所以f(x)在[a，b]上取到最小值m和最大值M， 显然有 m≤f(x
问答题
设函数f(x)在x=1的某邻域内有定义，且满足｜f(x)一2e x ｜≤(x－1) 2 ，研究函数f(x)在x=1处的可导性．
答案：
正确答案：把x=1代入不等式中，得f(1)=2e．当x≠1时，不等式两边同除以｜x－1｜，得
问答题
设f(x)在[a，b]上连续，且f’’(x)＞0，对任意的x 1 ，x 2 ∈[a，b]及0＜λ＜1，证明： f[λx 1 +(1－λ)x 2 ]≤λf(x 1 )+(1－λ)f(x 2 )．
答案：
正确答案：令x0=λx1+(1－λ)x2，则x
其中g(x)二阶连续可导，且g(0)=1．确定常数a，使得f(x)在x=0处连续；
当a=g’(0)时，f(x)在x=0处连续．
其中g(x)二阶连续可导，且g(0)=1．求f’(x)；
其中g(x)二阶连续可导，且g(0)=1．讨论f’(x)在x=0处的连续性．
因为
=f’(0)，所以f’(x)在x=0处连续．
问答题
设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得
设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得
答案：
正确答案：令φ(x)=(x－1)2f’(x)，显然φ(x)在[0，1]上可导．由f(0)=f(1)...
问答题
设u=u(x，y)由方程组u=(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0确定，其中f，g，h连续可偏导且
设u=u(x，y)由方程组u=(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0确定，其中f，g，h连续可偏导且
答案：
正确答案：方程组由五个变量三个方程构成，故确定了三个二元函数，其中x，y为自变量，由u=f(x，y，z，t)，g(y，z...
问答题
计算二重积分
计算二重积分
x
2
+4x+y
2
)dxdy，其中D是曲线(x
2
+y
2
)=a
2
(x
2
－y
2
)围成的区域．
答案：
正确答案：根据对称性
(x
2
+y
2
)dxdy，其中D
1
是D位于第一卦限的区域．
(x
2
+y
2
)dxdy，其中D
1
是D位于第一卦限的区域．
问答题
设有微分方程y’－2y=φ(x)，其中
设有微分方程y’－2y=φ(x)，其中
在(－∞，+∞)求连续函数y(x)，使其在(－∞，1)及(1，+∞)内都满足所给的方程，且满足条件y(0)=0．
答案：
正确答案：当x＜1时，y’－2y=2的通解为y=C1e2x－1，由y(0)=...
问答题
设a
0
=1，a
1
=－2，a
2
=
设a
0
=1，a
1
=－2，a
2
=
(n≥2)．证明：当｜x｜＜1时，幂级数
收敛，并求其和函数S(z)．
答案：
正确答案：由
得幂级数的收敛半径R=1，所以当｜ x｜＜1时，幂级数
所以
得幂级数的收敛半径R=1，所以当｜ x｜＜1时，幂级数所以
问答题
设y=y(x)二阶可导，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．(1)将x=x(y)所满足的微分方程
设y=y(x)二阶可导，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．(1)将x=x(y)所满足的微分方程
变换为y=y(x)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0．
的解．
答案：
正确答案：
代入原方程得y’’－y=sinx，特征方程为r2－1=0，特征根为r
代入原方程得y’’－y=sinx，特征方程为r2－1=0，特征根为r
问答题
某人的食量是2 500卡／天，其中1 200卡／天用于基本的新陈代谢．在健身运动中，他所消耗的为1 6卡／千克／天乘以他的体重．假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量10 000卡，求该人体重怎样随时间变化．
答案：
正确答案：输入率为2 500卡／天，输出率为(1 200+1 6ω)，其中ω为体重，根据题意得
ω(0)=ω
0
，由
ω(0)=ω
0
，由
