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问答题
求
求
的极值．
答案：
正确答案：令y′=(1一x)arctanx=0，得x=0或x=1，
因为y"(0)=1＞0，
所以x...
因为y"(0)=1＞0，
所以x...
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上连续，在
内可导，证明：存在ξ，
使得
由柯西中值定理，存在
使得
由拉格朗日中值定理，存在
使得
故
是关于x的3阶无穷小，求a，b．
由题意得
解得
得
于是
求y
(5)
(0)．
有且仅有一个根，求k的取值范围．
的渐近线．
得曲线无水平渐近线； 由
得x=一1为铅直渐近线； 由
得x=1不是铅直渐近线； 由
得斜渐近线为y=x+1．
问答题
设f(x)在[0，1]上二阶连续可导且f(0)=f(1)，又|f(x)|≤M，证明：
设f(x)在[0，1]上二阶连续可导且f(0)=f(1)，又|f(x)|≤M，证明：
答案：
正确答案：由泰勒公式得
两式相减得
取绝对值得
因为x
2
≤x，(1一x)
2
≤1一x，所以x
2
+(1一x)
2
≤1，故
两式相减得
取绝对值得
因为x
2
≤x，(1一x)
2
≤1一x，所以x
2
+(1一x)
2
≤1，故
问答题
设函数f(x)，g(x)在[a，+∞)上二阶可导，且满足条件f(a)=g(a)，f′(a)=g′(a)， f"(x)＞g"(x)(x＞a)．证明：当x＞a时，f(x)＞g(x)．
答案：
正确答案：令φ(x)=f(x)一g(x)，显然φ(a)=φ′(a)=0，φ"(x)＞0(x＞a)． 由
得φ′...
得φ′...
得x=0，因为
所以x=0为f(x)的极小值点，也为最小值点，而f(0)=0，故对一切的x，有f(x)≥0，即
的弦，它在此抛物线过P点的法线上，求PQ长度的最小值．
在[0，1]上的最大值、最小值．
由f′(x)=2x—1=0得
因为
所以f(x)在[0，1]上的最大值为
最小值为
在(0，+∞)内有且仅有两个根．
问答题
设k＞0，讨论常数k的取值，使f(x)=xlnx+k在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点．
答案：
正确答案：f(x)的定义域为(0，+∞)，
由f′(x)=lnx+1=0，得驻点为
由
得...
由f′(x)=lnx+1=0，得驻点为
由
得...
问答题
设
设
讨论f(x)的单调性、凹凸性、拐点、水平渐近线．
答案：
正确答案：因为
所以f(x)在(一∞，+∞)上单调增加． 因为
当x<0时，f"(x)＞0；当x＞0时，f"(x)＜0，则y=f(x)在(一∞，0)的图形是凹的，y=f(x)在(0，+∞)内是凸的，(0，0)为y=f(x)的拐点． 因为f(一x)=一f(x)，所以f(x)为奇函数． 由
为曲线y=f(x)的两条水平渐近线．
所以f(x)在(一∞，+∞)上单调增加． 因为当x<0时，f"(x)＞0；当x＞0时，f"(x)＜0，则y=f(x)在(一∞，0)的图形是凹的，y=f(x)在(0，+∞)内是凸的，(0，0)为y=f(x)的拐点． 因为f(一x)=一f(x)，所以f(x)为奇函数． 由为曲线y=f(x)的两条水平渐近线．
问答题
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，且f(a)=0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，且f(a)=0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得
答案：
正确答案：令φ(x)一(b一x)af(x)，显然φ(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导， ...
问答题
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=2ξ(ξ)．
答案：
正确答案：令φ(x)=e-x2f(x)，因为f(a)=f(b)=0，所以φ(...
问答题
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：存在η∈(a，b)，使得ηf’(η)+f(η)=0．
答案：
正确答案：令φ(x)=xf(x)，因为f(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0， 由罗尔定理，存在η∈(a，b...
