问答题

讨论下列级数的敛散性，若收敛，需指出是条件收敛还是绝对收敛，并说明理由．

答案：先讨论级数的敛散性，由于而级数发散，所以根据比较判别法的极限形式可得级数发散．
由于级数是交错级数，但不单调，...

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讨论下列级数的敛散性，若收敛，需指出是条件收敛还是绝对收敛，并说明理由．

答案：先讨论级数的敛散性，因为而级数发散，
所以根据比较判别法的极限形式可得级数发散．
又因为级数
...

判别下列级数的敛散性：

答案：由于以及级数收敛，故由正项级数比较判别法可得：收敛．

讨论下列级数的敛散性，若收敛，需指出是条件收敛还是绝对收敛，并说明理由．

答案：先讨论级数的敛散性，由于而级数发散，所以根据比较判别法的极限形式可得级数发散．
由于级数是交错级数，但不单调，...

判别下列级数的敛散性：

答案：此题用比值判别法失效，所以选用比较判别法．注意，常数k＞0有极限，因此，因为级数收敛，所以由正项级数的比较判别法知级数收...

讨论下列级数的敛散性，若收敛，需指出是条件收敛还是绝对收敛，并说明理由．

答案：由于，其中，易见．所以原级数为收敛的交错级数．
再判定级数的敛散性．
由于当0＜x＜π时，，所以．<...

判别下列级数的敛散性：

答案：该正项级数的通项是以积分形式给出的，因此需对积分进行估值．
显然这是正项级数，因当时，所以

...

讨论下列级数的敛散性，若收敛，需指出是条件收敛还是绝对收敛，并说明理由．

答案：由于，所以原级数可改写为交错级数．
由于，故级数收敛．
再判定的敛散性：
由于，而级数发散...

判别下列级数的敛散性：

答案：因为

又收敛，所以原级数绝对收敛．

设常数p＞0，试判断级数
的敛散性．

答案：因为

所以

当p＞1时，由于级数都绝对收敛，故原级数绝对收敛．
当...

设b₁=1，
，讨论级数
的敛散性．

答案：由，故b_n＞0(n=1，2，…)．
令，则，所以f(x)↑且．
从而，又，则．
从而，由比较判别法知正项级数收敛，

设函数f(x)在区间[0，1]上有一阶连续导数且f(0)=0，设
，证明级数
绝对收敛．

答案：对k=1，2，…，n，将f(x)在区间上使用拉格朗日中值定理得

由于f’(x)在[0，1]上连续，...

设f(x)是[-1，1]上具有二阶连续导数的偶函数，且f(0)=1，试证明级数
绝对收敛．

答案：由题设知f’(x)在x=0的某邻域内为奇函数，从而f’(0)=0．
将函数f(x)在x=0点展开为一阶泰勒公式...

已知a₁=1，对于n=1，2，…，设曲线
上点
处的切线与x轴交点的横坐标是a_n+1．
求a_n(n=2，3，…)；

答案：曲线处的切线方程为

从而，于是有．

设f(x)在|x|≤1有一阶连续导数且
，证明级数
发散而级数
收敛．

答案： (1)由得，根据极限的保号性质可得：存在N当n＞N时，即级数是正项级数，并由比较判别法的极限形式知发散，而级数是否敛散与...

设u_n＞0(n=1，2，…)，证明：
若存在常数a＞0，使当n＞N时，
，则级数
收敛；

答案：因为，所以．
因此由级数收敛及比较判别法可见收敛．

求下列幂级数的和函数：

答案：由于，所以收敛半径R=1．当x=±1时，原级数转化为发散，因此原级数收敛域为(-1，1)．其和函数为

设函数f(x)在|x|≤1上具有二阶连续导数，当x≠0时f(x)≠0，且当x→0时f(x)是比x高阶的无穷小．证明级数
绝对收敛．

答案：由于当x→0时f(x)是比x高阶的无穷小，所以，因此．
由于f(x)在x=0的某个邻域内二阶可导，因此．

已知a₁=1，对于n=1，2，…，设曲线
上点
处的切线与x轴交点的横坐标是a_n+1．
设S_n是以
和(a_n+1，0)为顶点的三角形的面积，求级数
的和．

答案：由题意

所以

设u_n＞0(n=1，2，…)，证明：
若当n＞N时，
，则级数
发散．

答案：由，得．由比较判别法及调和级数发散知发散．

【计算题】已知a₀=3，a₁=5，且对任何自然数n＞1，证明：当|x|＜1时，幂级数收敛，并求其和雨数。

答案：

求下列幂级数的和函数：

答案：易求得级数收敛域为．设

利用当|t|＜1时成立，令
即得

求下列幂级数的收敛域：

答案：由于
，
令，故收敛半径为R=
当时，原幂级数变为是收敛的交错级数，故级数的收敛域为．

求下列幂级数的收敛域：

答案：，令ρ(x)＜1|x|＜3，故收敛半径为R=3．
当x=3时，对应级数为，由于，由正项级数的比较判别法知该数项...

求下列幂级数的收敛域：

答案：由于，令得|x-1|＜3，所以收敛半径R=3．
当x-1=3时对应级数为，因为通项的极限不为零，所以发散；

求下列幂级数的收敛域：

答案：由于

设法求出，所以寻求别的方法．
因为幂级数收敛域为(-3，1)，幂级数的收敛域为(-...

【计算题】
将展开成x-1的幂级数；

答案： f（x）=ln[x/（1+x）]=ln[（1+x-1）/（2+x-1）]=ln（1+x-1）-ln（2+x-1）=ln（...

求证：

答案：利用ln(1-x)的已知展开式可得

又，所以
因此

将函数
展开成正弦级数，并求级数
的和．

答案：将函数延拓为[-π，π]上的奇函数F(x)，则傅里叶系数
a_n=0，

...

将
展开成x的幂级数．

答案：当x≠0时，

当x=0时，令，则S(x)定义域为(-∞，+∞)，且S(0)=f(0)=1，因此

将
展开成以2π为周期的傅里叶级数．

答案：显然f(x)在[-π，π]满足狄利克雷条件，且f(x)是奇函数，故
a_n=0(n=0，1...

在区间(-1，1)内将
展开为x的幂级数，并求f⁽ⁿ⁾(0)．

答案：由于，根据公式

则

上式逐项积分，并注意f(0)=0得

...

将函数
展开为x的幂级数．

答案：

由于

所以

分别求幂级数
的和函数与幂级数
当x≥0时的和函数·

答案：易知级数在区间[0，1)上收敛．令x=t⁴，则级数化为．
令，则．
又记，则，...