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问答题
设A是n阶矩阵，ξ1，ξ2，…，ξt是齐次方程组Ax=0的基础解系，若存在ηi使Aηi=ξ1，i=1，2，…，t，证明向量组ξ1，ξ2，…，ξs，η1，η2，…，ηt线性无关．
答案：
[证明] (定义法，同乘)．如果
k1ξ1+k2
k1ξ1+k2
你可能感兴趣的试题
，则|2A-1+E|=______．
，则
=______．
问答题
已知α1，α2，α3，α4是3维列向量，矩阵A=(α1，α2，2α3-α4+α2)，B=(α3，α2，α1)，C=(α1+2α2，2α2+3α4，α4+3α1)，若|B|=-5，|C|=40，则|A|=______．
答案：
根据行列式的性质，有
|A|=|α1，α2，2α3
|A|=|α1，α2，2α3
问答题
若矩阵
若矩阵
，B是3阶非零矩阵，满足AB=0，则t=______．
答案：
由B≠0知齐次方程组Ax=0有非零解，从而r(A)＜3(或者从r(A)+r(B)≤3，r(B)≥1，亦可知r(A)＜3)...
问答题
设A是n阶实对称矩阵，满足A4+2A3+A2+2A=0，若秩r(a)=r，则行列式|A+3E|=______．
答案：
由A是实对称矩阵知A必可相似对角化，而当A～Λ时，Λ由A的n个特征值所构成．只要能求出对角矩阵Λ，根据就可以求出行列式|...
问答题
已知A是3阶非零矩阵，若矩阵
已知A是3阶非零矩阵，若矩阵
使得AB=0，又知A+3E不可逆，则秩r(A)+r(A+E)=______．
答案：
由AB=0知r(A)+r(B)≤3，又因r(B)=2，矩阵A非零，得到r(A)=1．
由AB=0我们还知矩阵曰...
由AB=0我们还知矩阵曰...
，B是3阶非零矩阵满足AB=0，则（）
问答题
已知矩阵
已知矩阵
中a＜0，且齐次方程组Ax=0有非零解，A*是A的伴随矩阵，则齐次方程组A*x=0的通解是______．
答案：
因为齐次方程组Ax=0有非零解，故
于是a=6或a=-4．又因a＜0，从而a=-4．
因...
于是a=6或a=-4．又因a＜0，从而a=-4．
因...
，矩阵X满足XA-AB=AXA-ABA，则X3=______．
问答题
(Ⅰ) 设A，B均为n阶非零矩阵，且A2+A=0，B2+B=0，证明λ=-1必是矩阵A与B的特征值；
(Ⅰ) 设A，B均为n阶非零矩阵，且A2+A=0，B2+B=0，证明λ=-1必是矩阵A与B的特征值；
(Ⅱ) 若AB=BA=0，α与β分别是A与B属于特征值λ=-1的特征向量，证明向量组α，β线性无关．
答案：
[证明] (Ⅰ) 因为(E+A)A=0，A≠0，知齐次方程组(E+A)x=0有非零解，即行列式|E+A|=0，所以λ=-...
，求An．
问答题
设A是n阶反对称矩阵，
设A是n阶反对称矩阵，
(Ⅰ) 证明对任何n维列向量α，恒有αTAα=0；
(Ⅱ) 证明对任何非零常数c，矩阵A+cE恒可逆．
答案：
[证明] (Ⅰ) 因为αTAα是1×1矩阵，是一个数，故
αTAα...
αTAα...
，且αTβ=3，证明A可逆并求A-1．
，且矩阵A，B满足
+12E，则矩阵B=______．
和
，若矩阵X和Y满足：
问答题
已知向量组(Ⅰ) α1=(1，3，0，5)T，α2=(1，2，1，4)T，α3=(1，1，2，3)T与向量组(Ⅱ) β1=(1，-3，6，-1)T，β2=(a，0，b，2)T等价，求A，B的值．
答案：
[解] 由于-α1+2α2=α3，只需考察α...
问答题
设向量组
设向量组
(Ⅰ) α1，α2，…，αs和(Ⅱ) β1，β2，…，βs，如果(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表出，且秩r(Ⅰ)=r(Ⅱ)，证明(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表出．
答案：
[证明] 设秩r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r，(Ⅰ)的极大线性无关组为：αi1，α<...
问答题
已知A是n阶非零矩阵，且A中各行元素对应成比例，又α1，α2，…，αt是Ax=0的基础解系，β不是Ax=0的解．证明任一n维向量均可由α1，α2，…，αt，β线性表出．
答案：
[证明] 因为矩阵A中各行元素对应成比例，故r(A)=1，因此t=n-1．
若 k1α...
若 k1α...
问答题
设n维向量α1，α2，…，αs线性无关，而α1，α2，…，αs，β线性相关，证明β可以由α1，α2，…，αs线性表出，且表示方法唯一．
答案：
[证明] 因为α1，α2，…，αs，β线性相关，故存在...
问答题
设A是n阶矩阵，ξ1，ξ2，…，ξt是齐次方程组Ax=0的基础解系，若存在ηi使Aηi=ξ1，i=1，2，…，t，证明向量组ξ1，ξ2，…，ξs，η1，η2，…，ηt线性无关．
答案：
[证明] (定义法，同乘)．如果
k1ξ1+k2
k1ξ1+k2
问答题
已知λ1，λ2是矩阵A两个不同的特征值，α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt分别是矩阵A属于特征值λ1和λ2的线性无关的特征向量．证明：α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性无关．
答案：
[证明] 按特征值定义，有
Aαi=λ1αi...
Aαi=λ1αi...
问答题
已知向量组α1，α2，…，αs线性无关，若β=l1α1+l2α2+…+lsαs，其中至少有li≠0，证明用β替换αi后所得向量组α1，…，αi-1，β，αi+1，…，αs线性无关．
答案：
[证法一] (用定义) 如果k1α1+…+ki-1α<...
问答题
设A，B都是n阶矩阵，且A2-AB=E，则r(AB-BA+2A)=______．
答案：
由于A(A-B)=E，且A，A-B均为n阶矩阵，故知A可逆且其逆是A-B，那么
A(A-B)=(A-B)A=E...
A(A-B)=(A-B)A=E...
，i=1，2，…，s．
问答题
设
设
，矩阵A*是矩阵A的伴随矩阵，若r(A*)=1，且行列式|A+E|=8，则a=______．
答案：
由于，故本题中r(A*)=1r(A)=3．
因为A是实对称矩阵且矩阵A的特征值是a+3b...
因为A是实对称矩阵且矩阵A的特征值是a+3b...
问答题
已知α1，α2，α3是非齐次线性方程组3个不同的解，证明：
已知α1，α2，α3是非齐次线性方程组3个不同的解，证明：
(Ⅰ) α1，α2，α3中任何两个解向量均线性无关；
(Ⅱ) 如果α1，α2，α3线性相关，则α1-α2，α1-α3线性相关．
答案：
[证明] (Ⅰ) (反证法)如果α1，α2线性相关，不妨设α2
问答题
已知向量组α1=(1，1，1，3)T，α2=(-a，-1，2，3)T，α3=(1，2a-1，3，7)T，α4=(-1，-1，a-1，-1)T的秩为3，则a=______．
答案：
对A=(α1，α2，α3，α4)...
问答题
已知4维列向量α1，α2，α3线性无关，若βi(i=1，2，3，4)非零且与α1，α2，α3均正交，则秩r(β1，β2，β3，β4)=______．
答案：
记，A是秩为3的3×4矩阵，由于βi与α1，α2，α<...
问答题
已知A是4阶矩阵，α1与α2是线性方程组Ax=b的两个不同的解，则r(A*)*=______．
答案：
因为α1-α2是齐次方程组Ax=0的非零解，故|A|=0．
由于可见 r(A*)*=0．
由于可见 r(A*)*=0．
的基础解系是______．
，则a=______．
问答题
已知A是3×4矩阵，秩r(A)=1，若α1=(1，2，0，2)T，α2=(1，-1，a，5)T，α3=(2，a，-3，-5)T，α4=(-1，-1，1，a)T线性相关，且可以表示齐次方程组Ax=0的任一解，求Ax=0的基础解系．
答案：
[解] 因为A是3×4矩阵，且秩r(A)=1，所以齐次方程组Ax=0的基础解系有n-r(A)=3个解向量．又因α
问答题
已知α1，α2，…，αt是齐次方程组Ax=0的基础解系，判断并证明α1+α2，α3+α3，…，αt-1+αt，αt+α1是否为Ax=0的基础解系．
答案：
[解] 由于A(α1+α2)=Aα1+Aα2...
问答题
设A是(n-1)×n矩阵，划去A中第j列所得到的行列式记为Di，如果Dj(j=1，2，…，n)不全为0，证明(D1，-D2，…，(-1)n-1Dn)T是齐次方程组Ax=0的基础解系．
答案：
[证明] 设构造n阶矩阵Ai，给A增加一行ai1，ai2
有无穷多解，则其通解是______．
问答题
已知α1=(-3，2，0)T，α2=(-1，0，-2)T是方程组
已知α1=(-3，2，0)T，α2=(-1，0，-2)T是方程组
的两个解，则方程组的通解是______．
答案：
要搞清解的结构就应当知道秩r(A)．因为方程组有解且不唯一，故r(A)＜3．又因矩阵A中有2阶子式，因此r(A)=2．那...
问答题
设矩阵A=(α1，α2，α3)，线性方程组Ax=β的通解是(1，-2，0)T+k(2，1，1)T，若B=(α1，α2，α3，β-5α3)，求方程组By=β+α3的通解．
答案：
[解] 由方程组Ax=β的解的结构，知
即 α1-2α2
即 α1-2α2
，若αβTx=βγTx+3β，求此方程组的通解．
问答题
设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，秩r(A)=n，证明齐次方程组ABx=0与Bx=0同解．
答案：
[证明] 设α是齐次方程组Bx=0的解，则Bα=0．那么ABα=A(Bα)=A0=0，即α是方程组ABx=0的解．
问答题
设A是m×n矩阵，如果齐次方程组Ax=0的解全是方程
设A是m×n矩阵，如果齐次方程组Ax=0的解全是方程
b1x1+b2x2+…+bnxn=0的解，证明向量β=(b1，b2，…，bn)可由A的行向量线性表出．
答案：
[证明] 因为Ax=0的解全是b1x1+b2x
，若矩阵A与αβT相似，那么(2A+E)*的特征值是
问答题
设A是秩为r的n阶实对称矩阵，满足
设A是秩为r的n阶实对称矩阵，满足
A4-3A3+3A2-2A=0．
那么，矩阵A的n个特征值是______．
答案：
设λ是矩阵A的任一特征值，α是矩阵A属于特征值A的特征向量，即Aα=λα，α≠0．那么，A4α=λ...
，α1是矩阵A属于特征值λ=6的特征向量，α2和α3是矩阵A属于特征值λ=2的线性无关的特征向量，如果
问答题
设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是3维线性无关的列向量，其中α1是齐次方程组Ax=0的解，又知Aα2=α1+2α2，Aα3=α1-3α2+2α3．
设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是3维线性无关的列向量，其中α1是齐次方程组Ax=0的解，又知Aα2=α1+2α2，Aα3=α1-3α2+2α3．
(Ⅰ) 求矩阵A的特征值与特征向量；
(Ⅱ) 判断A是否和对角矩阵相似并说明理由；
(Ⅲ) 求秩r(A+E)．
答案：
[解] (Ⅰ) 据已知条件，有
记P=(α1，α2，α...
记P=(α1，α2，α...
与对角矩阵Λ相似，求a的值，并求可逆矩阵P，使P-1AP=Λ．
和
，试求可逆矩阵P，使P-1AP=B．
有三个线性无关的特征向量，则a=______．
问答题
已知矩阵A第一行3个元素是3，-1，-2，又α1=(1，1，1)T，α2=(1，2，0)T，α3=(1，0，1)T是矩阵A的三个特征向量，则矩阵A=______．
答案：
设矩阵A的三个特征值依次为λ1，λ2，λ3，则
...
...
问答题
设A是3阶实对称矩阵，其主对角线元素都是0，并且α=(1，2，-1)T满足Aα=2α．(Ⅰ)求矩阵A；(Ⅱ)求正交矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．
答案：
[解] (Ⅰ) 设，由Aα=2α得到
故
(Ⅱ) 由矩阵A的特征多项式
故
(Ⅱ) 由矩阵A的特征多项式
，向量
是矩阵A-1属于特征值λ0的特征向量，若|A|=-2，求a，b，c及λ0的值．
经正交变换化为标准形
，则a=______．
问答题
设3阶实对称矩阵A的特征值是1，2，-1，矩阵A的属于特征值1与2的特征向量分别是α1=(2，3，-1)T与α2=(1，a，2a)T，A*是A的伴随矩阵，求齐次方程组(A*-2E)x=0的通解．
答案：
[解] 由A的特征值是1，2，-1，可知行列式|A|=-2，那么A*的特征值是-2，-1，2．于是...
．
问答题
设三元二次型xTAx经正交变换化为标准形
设三元二次型xTAx经正交变换化为标准形
，若Aα=5α，其中α=(1，1，1)T，求此二次型的表达式．
答案：
[解] 二次型经正交变换化为标准形，知矩阵A的特征值是5，-1，-1．设λ=-1的特征向量是β=(x1
，其中ai≠aj，i，j=1，2，…，s．试讨论矩阵ATA的正定性．
问答题
设A为m阶正定矩阵，B是m×n矩阵，证明矩阵BTAB正定的充分必要条件是秩r(B)=n．
答案：
[证明] 首先证必要性．
方法1° (齐次方程组只有0解) x≠0，由于BTAB正定，知...
方法1° (齐次方程组只有0解) x≠0，由于BTAB正定，知...
问答题
设二次型f(x1，x2，x3，x4)=xTAx的正惯性指数为p=1，又矩阵A满足A2-2A=3E，求此二次型的规范形并说明理由．
答案：
[解] 设λ是矩阵A的任一特征值，α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，即Aα=Aα，α≠0．那么(A2
是正定矩阵．
能相似对角化，求正交变换化二次型xTAx为标准形．
问答题
设
设
(Ⅰ) 若矩阵A正定，求a的取值范围；
(Ⅱ) 若a是使A正定的正整数，求正交变换化二次型xTAx为标准形，并写出所用坐标变换．
答案：
[解] (Ⅰ) 由A的特征多项式
得到矩阵A的特征值是λ1=λ2<...
得到矩阵A的特征值是λ1=λ2<...
问答题
若f(x1，x2，x3)=(ax1+2x2-3x3)2+(x2-2x3)2+(x1+ax2-x3)2是正定二次型，则a的取值范围是______．
答案：
由题设条件知，对任意的x1，x2，x3，恒有f(x
