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问答题
用变量代换x=sint将方程(1-x
2
)
用变量代换x=sint将方程(1-x
2
)
化为y关于t的方程，并求微分方程的通解．
答案：
正确答案：
的通解为y=C
1
e
-2t
+C
2
e
2t
， 故原方程的通解为y=C
1
e
-2arcsinx
+C
2
e
2arcsinx
．
的通解为y=C
1
e
-2t
+C
2
e
2t
， 故原方程的通解为y=C
1
e
-2arcsinx
+C
2
e
2arcsinx
．
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+o(t
4
)得∫
0
x
e
-t2
dt=x-
x
3
+
x
5
+o(x
5
)， 从而
于是
问答题
设f(x)在[0，2]上连续，且f(0)=0，f(1)=1．证明： (1)存在c∈(0，1)，使得f(c)=1-2c； (2)存在ξ∈[0，2]，使得2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ)．
答案：
正确答案：(1)令φ(x)=f(x)-1+2x，φ(0)=-1，φ(1)=2，因为φ(0)φ(1)＜0，所以存在c∈(0...
f(x)存在．证明：f(x)在[a，+∞)上有界．
问答题
设f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f’’(x)｜≤1(x∈[0，1])，又f(0)=f(1)，证明：｜f’(x)｜≤
设f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f’’(x)｜≤1(x∈[0，1])，又f(0)=f(1)，证明：｜f’(x)｜≤
(x∈[0，1])．
答案：
正确答案：由泰勒公式得 f(0)=f(x)-f’(x)x+
f’’(ξ1)x2...
f’’(ξ1)x2...
问答题
设函数
设函数
其中g(x)二阶连续可导，且g(0)=1． (1)确定常数a，使得f(x)在x=0处连续； (2)求f’(x)； (3)讨论f’(x)在x=0处的连续性．
答案：
正确答案：(1)
当a=g’(0)时，f(x)在x=0处连续． (2)当x≠0时
(3)
...
当a=g’(0)时，f(x)在x=0处连续． (2)当x≠0时
(3)
...
问答题
设F(x)为f(x)的原函数，且当x≥0时，f(x)F(x)=
设F(x)为f(x)的原函数，且当x≥0时，f(x)F(x)=
，又F(0)=1，F(x)＞0，求f(x)．
答案：
正确答案：两边积分得F
2
(x)=
，解得F
2
(x)=
，由F(0)=1，F(x)＞0，得
，解得F
2
(x)=
，由F(0)=1，F(x)＞0，得
∫
a
b
f(x)dx．
与椭圆
所围成的公共部分的面积．
问答题
设函数z=f(u)，方程u=φ(u)+∫
y
x
P(t)dt确定甜为x，y的函数，其中f(u)，φ(u)可微，P(t)，φ’(u)连续，且φ’(u)≠1，求
设函数z=f(u)，方程u=φ(u)+∫
y
x
P(t)dt确定甜为x，y的函数，其中f(u)，φ(u)可微，P(t)，φ’(u)连续，且φ’(u)≠1，求
答案：
正确答案：z=f(u)两边对x及y求偏导，得
方程u=φ(u)+∫
y
x
P(t)dt两边对x及y求偏导，得
方程u=φ(u)+∫
y
x
P(t)dt两边对x及y求偏导，得
，则
问答题
设f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域D上连续，且g(x，y)≥0．证明：存在(ξ，η)∈D，使得
设f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域D上连续，且g(x，y)≥0．证明：存在(ξ，η)∈D，使得
f(x，y)g(x，y)dσ=f(ξ，η)
g(x，y)dσ．
答案：
正确答案：因为f(x，y)在D上连续，所以f(x，y)在D上取到最大值M和最小值m，故m≤f(x，y)≤M，又由g(x，...
问答题
设f(x)是连续函数．
(1)求初值问题
设f(x)是连续函数．
(1)求初值问题
的解，其中a＞0；
(2)若｜f(x)｜≤k，证明：当x≥0时，有｜y(x)｜≤
(e
ax
-1)．
答案：
正确答案：(1)y’+ay=f(x)的通解为y=[∫0xf(t)e...
问答题
用变量代换x=sint将方程(1-x
2
)
用变量代换x=sint将方程(1-x
2
)
化为y关于t的方程，并求微分方程的通解．
答案：
正确答案：
的通解为y=C
1
e
-2t
+C
2
e
2t
， 故原方程的通解为y=C
1
e
-2arcsinx
+C
2
e
2arcsinx
．
的通解为y=C
1
e
-2t
+C
2
e
2t
， 故原方程的通解为y=C
1
e
-2arcsinx
+C
2
e
2arcsinx
．
