问答题

求微分方程x ² y ^’’ 一2xy ^’ +2y=2x一1的通解．

答案：正确答案：令x=e^t，则x²y^’’=
+2y...

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求
．

答案：正确答案：

求
．

答案：正确答案：

设f(x)=
，求f(x)的间断点，并判断其类型．

答案：正确答案：显然x=0、x=1为f(x)的间断点． f(0—0)=
，因为f(0一0)≠f(0+0)，所以x=...

设∫ ₁ ^y－x² e ^t² dt=∫ ₀ ^x cos(x一t) ² dt确定y为x的函数，求
．

答案：正确答案：∫₀^xcos(x一t)²dt
∫<...

当0＜x＜
时，证明：
＜sinx＜x．

答案：正确答案：令f(x)=x—sinx，f(0)=0， f ^’ (x)=1一cosx＞0(0＜x＜

)，

求
．

答案：正确答案：

设f(x)在区间[0，1]上可积，当0≤x＜y≤1时，｜f(x)一f(y)｜≤｜arctanx—arctany｜，又f(1)=0，证明：｜∫ ₀ ¹ f(x)dx｜≤
ln2．

答案：正确答案：由｜f(x)｜=｜f(x)一f(1)｜=｜arctanx—arctan1｜=｜arctanx一
｜得...

设f(x)连续，f(0)=1，令F(t)=
f(x ² +y ² )dxdy(t≥0)，求F ^’’ (0)．

答案：正确答案：令x=cosθ，y=rsinθ，则 F(t)=∫₀^2πdθ∫

计算曲面积分
x ³ dydz+y ³ dzdx+(z ³ +1)dxdy，其中∑为x ² +y ² +z ² =a ² (z≥0)部分的上侧．

答案：正确答案：补充∑₀：z=0(x²+y²≤a^2...

判断级数
的敛散性．

答案：正确答案：因为

发散，由比较审敛法的极限形式得级数

发散．

将f(x)=
一x展开成x的幂级数．

答案：正确答案：

f(0)=0，f(x)=f(x)一f(0)=∫ ₀ ^x f ^’ (x)dx=∫ ₀ ^x

(｜x｜＜1)．

求微分方程x ² y ^’’ 一2xy ^’ +2y=2x一1的通解．

答案：正确答案：令x=e^t，则x²y^’’=
+2y...