问答题

某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层．汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功．设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k，k＞0)．汽锤第一次击打将桩打进地下am．根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0＜r＜1)．(注：m表示长度单位米)问
汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深

答案：设第n次击打后，桩被打进地下x_n，第n次击打时，汽锤所作的功为W_n(n=1，...

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计算
．

答案：

设f(x)在[-e，e]上连续，在x=0处可导，且f’(0)≠0．
证明：对于任意x∈(0，e)，至少存在一个θ∈(0，1)，使得
．

答案： [证明] (Ⅰ)设F(x)=
，x∈[-e，e]．则F(x)在[0，x]上连续，在(0，x)内可导．
...

设f(x)在[-e，e]上连续，在x=0处可导，且f’(0)≠0．
求极限

答案：由(Ⅰ)中结论，可得

，
等式两端求极限

，
则有

，
即

，
所以有

，
又已知f’(0)≠0，故

．

求函数f(x)=
的单调区间与极值．

答案：由已知可得f(x)的定义域为(-∞，+∞)，且由定积分的性质，

，
则
，

证明：当x≥0时，
．

答案： [证明] 设φ(x)=
，由φ’(x)=(x-x²)sin²ⁿx=...

设两曲线y=
(a＞0)与y=
在(x₀，y₀)处有公切线，求这两曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转的体积V．

答案：由已知，

．
由两曲线在(x₀，y₀)处有公...

设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，且F(x)=
，证明：
(Ⅰ)若f(x)是偶函数，则F(x)也是偶函数．
(Ⅱ)若f(x)是单调减函数，则F(x)也是单调减函数．

答案： [证明] 方法一：(Ⅰ)F(-x)=
，
若f(x)是偶函数，则有f(-x)=f(x)．故
...

设f(x)在[0，1]上具有连续导数，且f(0)+f(1)=0．证明：

答案： [证明] 对任意x∈[0，1]，由莱布尼茨定理可得f(x)-f(0)=
，f(x)-f(1)=-
，...

设f(x)在[0，π]上连续，且
=0，证明：f(x)在(0，π)内至少有两个零点．

答案： [证明] 令F(x)=
，F(0)=F(π)=0，由罗尔定理，存在一点θ₀∈(0，π)，...

设f(x)在[0，π]上连续，证明
．

答案： [证明]

令x=π-t，则

，
将其代入等式

可得

．

椭球面S₁是椭圆
=1绕x轴旋转而成，圆锥面S₂是过点(4，0)且与椭圆
=1相切的直线绕x轴旋转而成．
求S₁及S₂的方程

答案：由题意得S₁的方程为

．
计算可得过点(4，0)与

的切线为y=±

，所以S₂的方程为
y²+z²=

．

试确定过M₁(2，3，0)，M₂(-2，-3，4)及M₃(0，6，0)三点的平面方程．

答案：取M₀(x₀，y₀，z₀)=(2...

计算∫xarcsinxdx．

答案：

计算下列反常积分(广义积分)的值．

答案：由于x²-2x=(x-1)²-1，因此为去掉被积函数中的根号，可令x-1=sect则有

．

过坐标原点作曲线y=e^x的切线，该切线与曲线y=e^x以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形，记为D，求
D的面积A

答案：设切点坐标为P(x₀，y₀)，于是曲线y=e^x在点P的...

设f(x)在区间[2，4]上具有二阶连续导数f"(x)，且f(3)=0，证明：存在一点ξ∈(2，4)，使得

．

答案： [证明] 令F(x)=
，可知F(x)三阶连续可导，由二阶的泰勒公式得

，其中ξ

某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层．汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功．设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k，k＞0)．汽锤第一次击打将桩打进地下am．根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0＜r＜1)．(注：m表示长度单位米)问
汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深

答案：设第n次击打后，桩被打进地下x_n，第n次击打时，汽锤所作的功为W_n(n=1，...

设曲线y=ax²(x≥0，常数a＞0)与曲线y=1-x²交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax²围成一平面图形D．
求D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积V(a)

答案：由题意知，y=ax²与y=1-x²的交点为A

，直线OA的方程为

．
旋转体的体积

．

椭球面S₁是椭圆
=1绕x轴旋转而成，圆锥面S₂是过点(4，0)且与椭圆
=1相切的直线绕x轴旋转而成．
求S₁与S₂之间的立体体积

答案：记y₁=

，由

=1，记y₂=

，
则

．

过坐标原点作曲线y=e^x的切线，该切线与曲线y=e^x以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形，记为D，求
D绕直线x=1所成的旋转体的体积V

答案：如下图所示，D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积微元为

，

则

计算下列反常积分(广义积分)的值．

答案：采用分解法与分部积分法，注意

，将被积函数分解并用分部积分法有

设曲线y=ax²(x≥0，常数a＞0)与曲线y=1-x²交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax²围成一平面图形D．
求a的值，使V(a)为最大

答案：
．
当a＞0时，得V(a)的唯一驻点a=4．当0＜a＜4时，V’(a)＞0；当a＞4时，V’(a)...

某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层．汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功．设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k，k＞0)．汽锤第一次击打将桩打进地下am．根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0＜r＜1)．(注：m表示长度单位米)问
若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深

答案：由归纳法，设x_n=
，则

．
由于W_n+1

圆柱面的轴线是L：
，点P₀(1，-1，0)是圆柱面上一点，求圆柱面方程．

答案：点P₀到轴线L的距离d即为圆柱面的底面半径，在L上取一点P₁(0，1，-2)...

求两曲面x²+y²=z与-2(x²+y²)+z²=3的交线在xOy平面上的投影曲线方程．

答案：在方程组
中消去z，得(x²+y²)²-2(...

求直线L：
绕z轴旋转所得的旋转曲面方程．

答案：设(x，y，z)为旋转曲面上任一点，它对应曲线L上的点为(x₀，y₀，z

判断直线L₁：
和直线L₂：x+1=y-1=z是否相交．如果相交求其交点，如果不相交求两直线间距离．

答案：直线L₁的方向向量s₁=(1，2，λ)，直线L：的方向向量为s_2<...

求过点A(-1，2，3)垂直于L：
且与平面∏：7x+8y+9z+10=0平行的直线方程．

答案：直线L的方向向量为s=(4，5，6)，平面∏的法向量为n=(7，8，9)．
因为所求直线与已知直线垂直且与已知...

求直线L₁：
和直线L₂：
间的夹角．

答案：直线L₁的方向向量为

，
取s₁=