问答题

设

矩阵X满足关系式：X(E-C^-1B)^TC^T=E，求X．

答案： [解]X(E-C^-1B)^TC^T=X[C(E-C

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已知AP=PB，其中

求A及A⁵．

答案： [解]先求出

因AP=PB，故

设
求Aⁿ．

答案： [解]方法一：用数学归纳法．
因为

<...

设

矩阵X满足关系式：X(E-C^-1B)^TC^T=E，求X．

答案： [解]X(E-C^-1B)^TC^T=X[C(E-C

设矩阵
矩阵X满足AX+E=A²+X，试求矩阵X．

答案： [解]由于AX+E=A²+X，即
(A-E)X=A²-E=...

设矩阵A的伴随矩阵
且ABA^-1=BA^-1+3E，其中E为四阶单位矩阵，求矩阵B．

答案： [解]方法一：因为|A^*|=|A|^n-1，...

设A为n阶方阵，
求r(A)

答案： [解]

(1)当a≠1-n且a≠1时，|A|≠0
R(A)=n
...

求下列矩阵的秩：

答案： [解]

所以r(A)=5．

求下列矩阵的秩：

答案： [解]

所以r(B)=2．

设A是对称矩阵，B是反对称矩阵，则AB是反对称矩阵
AB=BA．

答案： [证]“
”即已知A=A^T，B=-B^T，且AB=-(AB)

证明任何一个n阶方阵都可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和．

答案： [证]本题与高数中证明任何一个函数可表示成一个奇函数与偶函数之和的构造法类似．
设A^T

设A，B均为n阶方阵，E为n阶单位阵，证明：
(1)若A+B=AB，则A-E可逆．
(2)若E-AB可逆，则E-BA可逆，并求其逆．

答案： (1)[证]A+B=AB
A=(A-E)B
(A-E)+E=(A-E)B

设A为n阶非零方阵，A^是A的伴随矩阵，A^T是A的转置矩阵，证明：当A^T=A^时，A可逆．

答案： [证]因为AA^*=|A|E，A^T=A^*，所以AA

设A为n阶可逆矩阵，且A²=|A|E，证明A的伴随矩阵A^*=A．

答案： [证]因为A为n阶可逆矩阵，所以
A^*=|A|A^-1=|A|EA^-1=A²·A^-1=A．

设n阶矩阵A，B和A+B均可逆，证明： A^-1+B^-1也可逆，且(A^-1+B^-1)^-1=A(A+B)^-1B=B(A+B)^-1A，

答案： [证]因为(A^-1+B^-1)[A(A+B)^-1B]=(...

设n阶矩阵A，B和A+B均可逆，证明： (A+B)^-1=A^-1-A^-1(A^-1+B^-1)^-1A^-1．

答案： [证]由上小题的结果，有
(A+B)[A^-1-A^-1(A<...

设A为n阶方阵(n≥3)，证明：(A^)^=|A|^n-2A．

答案： [证]由公式BB^*=B^*B=|B|E，有(A^*)

设矩阵A的元素均为整数，证明：A^-1的元素均为整数
|A|=±1．

答案： [证]“
”AA^-1=E，|A^-1|=|A|^-1

设矩阵A可逆，且A的每行元素之和均等于常数a，试证： a≠0；

答案： [证]

若a=0，则|A|=0，这与A可逆即|A|≠0矛盾，故a≠0．

设矩阵A可逆，且A的每行元素之和均等于常数a，试证： A^-1的每行元素之和都等于

答案： [证]令A=(α₁，α₂，…，α_n)，A^-1...

设A，B均为n阶方阵，证明：r(AB)≥r(A)+r(B)-n．

答案： [证]设r(A)=r，r(B)=s，则有

于是

...

设A=(a_ij)_m×s，B=(b_ij)_s×n，则r(AB)≤min[r(A)，r(B)]．

答案： [证]设r(A)=r，r(B)=s，
则存在m阶可逆矩阵P₁及s阶可逆矩阵Q

设A与B均为n阶方阵，若AB=O，则r(A)+r(B)≤n．

答案： [证]设矩阵B的列向量为β₁，β₂，…，β_n，则由分块...

设A，B均为n阶方阵，ABA=B^-1，E为n阶单位阵，证明：
r(E-AB)+r(E+AB)=n．

答案： [证]因为ABA=B^-1
ABAB=E
(E-AB)(E+AB)=O，

设矩阵
其行列式|A|=-1，又A的伴随矩阵A^*有一个特征值λ₀，属于λ₀的一个特征向量为α=[-1，-1，1]^T，求a，b，c和λ₀的值．

答案： [解]题设与A^*有关，利用公式AA^*=|A|E化简．
由已...

设A，B为n阶方阵，且A+BAB．证明：A-E可逆；

答案： [证]由A+B=AB，
有AB-A-B+E=E
(A-E)(B-E)=E，
...

设A，B为n阶方阵，且A+BAB．证明：AB=BA．

答案： [证]由上小题知，A-E与B-E互为逆矩阵，于是由逆矩阵的定义知
(A-E)(B-E)=(B-E)(A...

已知A，B为三阶矩阵，且满足2A^-1B=B-4E，其中E是三阶单位矩阵．证明：矩阵A-2E可逆；

答案： [解]从2A^-1B=B-4E中设法分解出因子A-2E．

...

设X，Y是独立同分布的离散型随机变量，分布律为
求矩阵
的秩为2的概率．

答案： [解]对A施行初等变换

因为r(A)=2，所以X+Y=0．又X+Y的分布律为
...

已知A，B为三阶矩阵，且满足2A^-1B=B-4E，其中E是三阶单位矩阵．若
求矩阵A．

答案： [解]

设A为m×n实矩阵，n＜m，且方程组Ax=b有唯一解．证明：A^TA可逆．

答案： [证]因为Ax=b有唯一解，所以Ax=0只有零解．设A^TAx=0有非零解，即
使A

设n阶可逆阵A=(α₁，α₂，…，α_n)，α_i为n维列向量(i=1，2，…，n)，β为n维非零列向量，且与α₁，α₂，…，α_n-1均正交，则B=(α₁，α₂，…，α_n-1，β)可逆．

答案： [证]证明B可逆即证明向量组α₁，α₂，…，α_n-1，...