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问答题
设c 1 ，c 2 ，…，c n 均为非零实常数，A=(a ij ) n×n 为正定矩阵，令b ij =a ij c i c j (i，j=1，2，…，n)，矩阵B=(b ij ) n×n ，证明矩阵B为正定矩阵．
答案：
正确答案：令矩阵
则C可逆，注意用对角矩阵C左(右)乘矩阵A，等于用C的主对角线元素依次乘A的各行(列)，于是...
则C可逆，注意用对角矩阵C左(右)乘矩阵A，等于用C的主对角线元素依次乘A的各行(列)，于是...
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问答题
设有矩阵A m×n ，B n×m ，已知E m －AB可逆，证明：E－BA可逆，且(E n －BA) －1 =E n +B(E m －AB) －1 A．
答案：
正确答案：只要验证(E
n
－BA)[E
n
+B(E
m
－AB)
－1
A]=E
n
．
问答题
设向量组α 1 ，α 2 ，α 3 线性相关，向量组α 2 ，α 3 ，α 4 线性无关，问： (1)α 1 能否由α 2 ，α 3 线性表示证明你的结论． (2)α 4 能否由α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示证明你的结论．
答案：
正确答案：(1)能．由α2，α3线性无关，而α1，α<...
问答题
已知α
i
=(α
i1
，α
i2
…，α
in
)
T
(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α
1
，α
2
，…，α
r
线性无关．已知β=(b
1
，b
2
，…，b
n
)
T
是线性方程组
已知α
i
=(α
i1
，α
i2
…，α
in
)
T
(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α
1
，α
2
，…，α
r
线性无关．已知β=(b
1
，b
2
，…，b
n
)
T
是线性方程组
的非零解向量．试判断向量组α
1
，α
2
，…，α
r
，β的线性相关性．
答案：
正确答案：由题设条件有βTαi=0(i=1，2，…，r)．设 k1...
有解，并求出解的一般形式．
问答题
已知(1，－1，1，－1)
T
是线性方程组
已知(1，－1，1，－1)
T
是线性方程组
的一个解，试求
(1)该方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；
(2)该方程组满足x
2
=x
3
的全部解．
答案：
正确答案：将解向量x=(1，－1，1，－1)T代入方程组，得λ=μ，对方程组的增广矩阵施行初等行变...
问答题
设3阶矩阵A的特征值为－1，1，1，对应的特征向量分别为(1，－1，1) T ，(1，0，－1) T ，(1，2，－4) T ．求A 100 ．
答案：
正确答案：因为A有3个线性无关特征向量，故A可相似对角化．令
则P可逆，且使
于是有A
100
=PEP
－1
=E．
则P可逆，且使
于是有A
100
=PEP
－1
=E．
问答题
设n维实向量α=(a 1 ，a 2 ，…，a n ) T ≠0，方阵A=αα T ．证明：对于正整数m，存在常数t，使A m =t m－1 A，并求出t；
答案：
正确答案：Am=(ααT)(ααT)…(αα...
问答题
设n维实向量α=(a 1 ，a 2 ，…，a n ) T ≠0，方阵A=αα T ．求可逆矩阵P，使P －1 AP成对角矩阵．
答案：
正确答案：A≠O，
1≤r(A)=r(ααT)≤r(α)=1，
r(A)=1，...
1≤r(A)=r(ααT)≤r(α)=1，
r(A)=1，...
问答题
设c 1 ，c 2 ，…，c n 均为非零实常数，A=(a ij ) n×n 为正定矩阵，令b ij =a ij c i c j (i，j=1，2，…，n)，矩阵B=(b ij ) n×n ，证明矩阵B为正定矩阵．
答案：
正确答案：令矩阵
则C可逆，注意用对角矩阵C左(右)乘矩阵A，等于用C的主对角线元素依次乘A的各行(列)，于是...
则C可逆，注意用对角矩阵C左(右)乘矩阵A，等于用C的主对角线元素依次乘A的各行(列)，于是...
