问答题

设随机变量X的密度为φ(x)=Ae ^-2|x| ，-∞＜x＜+∞．求：P(0＜X＜1)；

答案：解：

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设
其中g(x)有连续二阶导数，且g(0)=g"(0)=1．
求：a为何值时f(x)连续；

答案： [解析]

若f(x)连续，则a=0．

设有一曲顶柱体，以双曲抛物面z=xy为顶，xQy平面为底，y=0为侧面，柱面x ² +y ² =1为外侧，柱面x ² +y ² =2x为内侧，求此柱体的体积．

答案：解：由题设可知曲顶柱体在xQy平面上的投影，即积分域D如下图所示，根据其形状采用极坐标．

设
其中g(x)有连续二阶导数，且g(0)=g"(0)=1．
求：当f(x)连续时，求f"(x)，并判断其连续性．

答案： [解析] 当x≠0时，

当x=0时，

综上可知

可能的不连续点为x=0，又

所以f"(x)连续．

设f(x)在[x ₁ ，x ₂ ]上可导，且0＜x ₁ ＜x ₂ ．
证明：在(x ₁ ，x ₂ )内存在ε，使

答案：解：思路一：令
显然F(x)在[x₁，x₂]上连续，在(x

设抛物线y=ax ² +bx+c过原点，当0≤x≤1时，y≥0．又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围的面积为
，试确定常数a，b，c，使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小．

答案：解：因为抛物线过原点，所以c=0，又由题设可知

则旋转体体积为

令

则

解得

此时

因为

所以当

时体积V最小．

设有级数
求此级数的收敛域；

答案：解：因为

故收敛域为(-∞，+∞)．

设有级数
证明此级数满足方程y"-y=-1；

答案：解：令

则

则

已知非齐次线性方程组
有3个线性无关的解．证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；

答案：解：设α₁，α₂，α₃是方程组Ax=β的3个线性无关的...

设有级数
求此级数的和函数．

答案：解：由y(0)=2，y"(0)=0，故可知满足y(0)=2，y"(0)=0的方程y"-y=-1的特解，即为级数的和函数．...

设A为三阶实对称矩阵，A的每行元素之和为5，AX=0有非零解且λ ₁ =2是A的特征值，对应特征向量为(-1，0，1) ^T ．求A的其他特征值与特征向量；

答案：解：因为A的每行元素之和为5，所以有
即A有特征值λ₂=5，对应的特征向量为
...

设A为三阶实对称矩阵，A的每行元素之和为5，AX=0有非零解且λ ₁ =2是A的特征值，对应特征向量为(-1，0，1) ^T ．求A．

答案：解：令

由

得

已知非齐次线性方程组
有3个线性无关的解．求a，b的值及方程组的通解．

答案：解：因为

又r(A)=2，则

当a=2，b=-3时，...

设随机变量X的密度为φ(x)=Ae ^-2|x| ，-∞＜x＜+∞．求：A；

答案：解：

得

则

所以φ(x)=e ^-2|x| ．

设(X，Y)的分布函数为
求：系数A，B和C；

答案：解：由分布函数的性质知

由上面三式可得

因此

设随机变量X的密度为φ(x)=Ae ^-2|x| ，-∞＜x＜+∞．求：P(0＜X＜1)；

答案：解：

设(X，Y)的分布函数为
求：(X，Y)的概率密度；

答案：解：(X，Y)的概率密度为

设(X，Y)的分布函数为
求：边缘分布函数及边缘概率密度，并判断X和Y是否相互独立．

答案：解：X，Y的边缘分布函数为

边缘密度函数分别为

因为f(x，y)=f _X (x)f _Y (y)，故X和Y是相互独立的．

设随机变量X的密度为φ(x)=Ae ^-2|x| ，-∞＜x＜+∞．求：X的分布函数．

答案：解：

当x＜0时，

当x≥0时，

所以，X的分布函数为