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问答题
已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx经正交变换x=Py化为标准形
已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx经正交变换x=Py化为标准形
，其中矩阵P的第1列是
．求二次型f(x1，x2，x3)的表达式．
答案：
设α=(x1，x2，x3)T是矩...
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问答题
设A，B均为n阶非零矩阵，且满足A2+A=0，B2+B=0，证明：
设A，B均为n阶非零矩阵，且满足A2+A=0，B2+B=0，证明：
-1是A，B的特征值；
答案：
由A2+A=(A+E)A=0，且A≠0，可知齐次线性方程组(A+E)x=0有非零解，所以|A+E|...
问答题
已知n阶非零矩阵A1，A2，A3满足
已知n阶非零矩阵A1，A2，A3满足
(i=1，2，3)，AiAj=0 (i≠j，i，j=1，2，3)．
证明：Ai(i=1，2，3)的特征值有且仅有1和0；
答案：
设Aiα=λα，α≠0，i=1，2，3，两边左乘Ai，得
，
问答题
设A，B均为n阶非零矩阵，且满足A2+A=0，B2+B=0，证明：
设A，B均为n阶非零矩阵，且满足A2+A=0，B2+B=0，证明：
若AB=BA=0，ξ1，ξ2分别是A，B的对应于特征值λ=-1的特征向量，则ξ1，ξ2线性无关．
答案：
由Aξ1=-ξ1，AB=BA=0，得BAξ1=-Bξ<...
是A的对应于λ=0的特征向量．
问答题
已知n阶非零矩阵A1，A2，A3满足
已知n阶非零矩阵A1，A2，A3满足
(i=1，2，3)，AiAj=0 (i≠j，i，j=1，2，3)．
证明：Ai属于λ=1的特征向量是Aj属于λ=0的特征向量(i≠j)；
答案：
若Aiα=α，α≠0，两边用Aj左乘，得
Ajα=AjAiα=0α=0=0α．
故α是Aj属于λ=0的特征向量．
Ajα=AjAiα=0α=0=0α．
故α是Aj属于λ=0的特征向量．
，
问答题
设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=8，λ2=λ3=2，矩阵A属于特征值λ1=8的特征向量为α1=(1，k，1)T，属于特征值λ2=λ3=2的一个特征向量为α2=(-1，1，0)T．
设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=8，λ2=λ3=2，矩阵A属于特征值λ1=8的特征向量为α1=(1，k，1)T，属于特征值λ2=λ3=2的一个特征向量为α2=(-1，1，0)T．
求参数k及λ2=λ3=2的另一个特征向量；
答案：
因为α1，α2是实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量，故有
α<...
α<...
问答题
已知矩阵
已知矩阵
，有3个线性无关的特征向量，λ=5是矩阵A的二重特征值，A*是矩阵A的伴随矩阵，求可逆矩阵P，使P-1A*P为对角矩阵．
答案：
因为矩阵A有三个线性无关的特征向量，λ=5是矩阵A的二重特征值，故矩阵A属于特征值λ=5必有2个线性无关的特征向量，因此...
问答题
设A是4阶矩阵，λ=0是A的三重特征值，
设A是4阶矩阵，λ=0是A的三重特征值，
是A的对应于λ=0的特征向量．
问s，t满足什么条件时，sη1+tη2是A的对应于λ=0的特征向量．
答案：
由题设
也是A的对应于λ=0的特征向量，则sη1+tη2应可由ξ<...
也是A的对应于λ=0的特征向量，则sη1+tη2应可由ξ<...
问答题
设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值．若α1=(1，a，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(0，1，-1)T都是矩阵A属于特征值6的特征向量．
设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值．若α1=(1，a，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(0，1，-1)T都是矩阵A属于特征值6的特征向量．
求a的值；
答案：
对于实对称矩阵A，若λ是矩阵A的k重特征值．则矩阵A属于特征值λ的特征向量有且只有k个是线性无关的．因此α1<...
(i=1，2，3)，AiAj=0 (i≠j，i，j=1，2，3)．
问答题
设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=8，λ2=λ3=2，矩阵A属于特征值λ1=8的特征向量为α1=(1，k，1)T，属于特征值λ2=λ3=2的一个特征向量为α2=(-1，1，0)T．
设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=8，λ2=λ3=2，矩阵A属于特征值λ1=8的特征向量为α1=(1，k，1)T，属于特征值λ2=λ3=2的一个特征向量为α2=(-1，1，0)T．
求矩阵A．
答案：
}由A(α1，α2，α3)=(Aα1，Aα2，Aα3)=(λ1α1，λ2α2，λ3α3)，得
问答题
已知A为3阶实对称矩阵，二次型f=xTAx经正交变换x=Qy得标准形
已知A为3阶实对称矩阵，二次型f=xTAx经正交变换x=Qy得标准形
，其中Q=(α1，α2，α3)，且
，试求所作的正交变换．
答案：
由标准形可知二次型的矩阵A的特征值λ=1，1，-4，且α3为λ=-4对应的特征向量．设
...
...
问答题
设3阶矩阵
设3阶矩阵
，且r(A) ＜3，并已知矩阵B有3个特征值λ1=1，λ2=-1，λ3=0，对应的特征向量分别为
求参数a的值，并求矩阵B．
答案：
由r(A)＜3，知|A|=0，即有
，即a(a+1)=0．
所以a=0或a=-1．
，即a(a+1)=0．
所以a=0或a=-1．
可相似对角化，求坐标变换x=Cy，化二次型xTAx为标准形．并指出xTAx=0表示什么曲面．
问答题
设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值．若α1=(1，a，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(0，1，-1)T都是矩阵A属于特征值6的特征向量．
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求A的另一特征值和对应的特征向量；
答案：
由秩r(A)=2，知|A|=0，又|A|=∏λi，所以A的另一个特征值是λ3...
，其中二次型矩阵A有特征值4．
问答题
设A是3阶矩阵，λ0是A的特征值，对应的特征向量为ξ=(1，1，1)T，已知|A|=1，又A*是A的伴随矩阵，且
设A是3阶矩阵，λ0是A的特征值，对应的特征向量为ξ=(1，1，1)T，已知|A|=1，又A*是A的伴随矩阵，且
试确定参数a，b，c及λ0．
答案：
由题设条件知Aξ=λ0ξ，两边左乘A*，且利用|A|=1，得
A<...
A<...
，其中二次型矩阵A有特征值4．
通过正交变换化为标准形
，求参数a，b及所用的正交变换．
有特征值λ1=-2，λ2=4．
，求可逆阵P，使得P-1AP=Λ．
问答题
设A和B均是n阶非零方阵，且满足A2=A，B2=B，AB=BA=0．证明：
设A和B均是n阶非零方阵，且满足A2=A，B2=B，AB=BA=0．证明：
0和1必是A和B的特征值；
答案：
由A2=A，得(A-E)A=0，又A≠0，所以(A-E)x=0有非零解，从而|A-E|=0，即λ=...
有特征值λ1=-2，λ2=4．
问答题
已知A=E+αβT，其中α=(a1，a2，a3)T，β=(b1，b2，b3，)T，且αTβ=2．
已知A=E+αβT，其中α=(a1，a2，a3)T，β=(b1，b2，b3，)T，且αTβ=2．
证明A可逆，并求A-1；
答案：
因为矩阵A的特征值3，1，1，所以矩阵A可逆．又因B2=2B，A=E+B，有
(A-E)...
(A-E)...
问答题
设A和B均是n阶非零方阵，且满足A2=A，B2=B，AB=BA=0．证明：
设A和B均是n阶非零方阵，且满足A2=A，B2=B，AB=BA=0．证明：
若α是A的属于特征值1的特征向量，则α必是β的属于特征值0的特征向量．
答案：
由题设Aα=α，则有Bα=B(Adα)=(BA)α=0α=0=0α．
可见当α是A的属于特征值1的特征向量时，...
可见当α是A的属于特征值1的特征向量时，...
问答题
已知A=E+αβT，其中α=(a1，a2，a3)T，β=(b1，b2，b3，)T，且αTβ=2．
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求行列式|A*+E|的值．
答案：
因为矩阵A的特征值是3，1，1，知|A|=3．从而A*的特征值为1，3，3．所以，A*<...
