填空题

函数f(x，y)=e^-xy在x²+4y²≤1上的最大值为（）

答案：

令x=sina， y=1/2 cosa
-xy=-1/4sin2a
-xy_max=1/4，
f(x,y)_max=e^1/4

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答案： e

设函数
，则

答案：

已知z=z(x，y)满足
，则z(x，y)=______．

答案： [分析] 由于，所以φ(x)=sinx，从而

上式两边对y积分得：．由z(x，0)=e^x可得ψ(x)=e^x．因此

设
，则
．

答案： -1
[分析]

设φ(cx-az，cy-bz)=0，其中φ(u，v)可微，则

答案： c

设f(x，y)可微，f(x，x²)=1，
，则x≠0时f’_y(x，x²)=______．

答案： [分析] 由于f(x，x²)=1，两端对x求导得f’_x(x，x²)+f’_y(x，x²)·2x=0．所以

设z=z(x，y)是由方程x+y-z=e^z所确定的隐函数，则

答案： [分析] 题设方程两边求全微分得：dx+dy-dz=e^zdz，所以，从而，
所以

设f，g均可微，z=f(xy，lnx+g(xy))，则
．

答案： f’₂

设F具有一阶连续偏导数，又
确定隐函数z=z(x，y)，则xz’_x-yz’_y=______．

答案： z

设
，其中f有一阶连续偏导数，则dz=______．

答案： [分析] 由于，所以

设z=f(t)，t=φ(xy，x²+y²)，f，φ均可导，则dz=______．

答案： f’·(yφ’₁+2xφ’₂)dx+f’·(xφ’₁+2yφ’₂)dy．

函数f(x，y)=e^-xy在x²+4y²≤1上的最大值为（）

答案：

令x=sina， y=1/2 cosa
-xy=-1/4sin2a
-xy_max=1/4，
f(x,y)_max=e^1/4

设函数u=xy²+z³-xyz，则沿方向角
的方向l的方向导数
=______．

答案： [分析] 由于，又

于是

设曲线Γ位于曲面z=x²+y²上，Γ在xOy平面上的投影曲线的极坐标方程为r=e^θ，则Γ上柱坐标(r，θ，z)=(1，0，1)的点M₀处切线的直角坐标方程为______．

答案： [分析] 由于Γ在xOy平而上的投影曲线的极坐标方程为r=e^θ，且厂位于曲面z=x²

设向量u=3i-4j，v=4i+3j,且二元可微函数f(x，y)在点P处有
，则df|_P=______．

答案： 10dx+15dy

曲线
绕x轴旋转一周，所得旋转曲面在点(1，0，-1)处指向外侧的单位法向量是______．

答案： [分析] 所得旋转曲面的方程为∑：x²+2y²+2z²...

设曲面F(u，v，ω)=0在点(1，1，1)处的法向量为n=1，2，3，则曲面F(x，y²，z³)=0在点(1，1，1)处的切平面方程为______．

答案： (x-1)+4(y-1)+9(z-1)=0

函数z=1-(x²+2y²)在点
处沿曲线C：x²+2y²=1在该点内法线方向n的方向导数为______．

答案： [分析] 曲线C：x²+2y²=1在点的法线方向向量为，
所以．又，所以．