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问答题
答案：
因
故所求极限是“”型未定式，用分项求极限法可得
(后一项的分子为有界变量，分母是无穷大量，故其极限为0．)
故所求极限是“”型未定式，用分项求极限法可得
(后一项的分子为有界变量，分母是无穷大量，故其极限为0．)
你可能感兴趣的试题
存在，则常数a=______．
求a，b，c之值．
，则
，则
和h(x)=tanx-sinx当x→0时都是无穷小量，若按照它们关于x的阶数从低到高的顺序排列起来，则是
问答题
设f(x)是满足
设f(x)是满足
的连续函数，且当x→0时
是与Axn等价的无穷小，则A=______，n=______．
答案：
首先，由题设可得
其次，设，由洛必达法则和变限定积分求导公式又可得
从而，令...
其次，设，由洛必达法则和变限定积分求导公式又可得
从而，令...
是与x3等价的无穷小，则f(0)=______．
在(-∞，+∞)上是
．证明：f(x)在x=1处可导，并求f’(1)．
，且满足
有
问答题
设某品的需求函数Q=Q(P)是单调减少的，收益函数R=PQ，需求对价格的弹性记为EP．
设某品的需求函数Q=Q(P)是单调减少的，收益函数R=PQ，需求对价格的弹性记为EP．
(Ⅰ) 求证：边际收益
；
(Ⅱ) 若当价格为P0，对应的需求量为Q0时，边际收益MR=a＞0，而R’(P0)=c＜0，且这时需求对价格的弹性EP满足|EP|=b＞1，求P0和Q0．
答案：
[证明与求解] (Ⅰ) 因需求函数Q=Q(P)是单调减少的，从而存在反函数P=P(Q)，于是边际收益
...
...
问答题
设f(x)是周期为3的连续函数，f(x)在点x=1处可导，且满足恒等式
设f(x)是周期为3的连续函数，f(x)在点x=1处可导，且满足恒等式
f(1+tanx)-4f(1-3tanx)=26x+g(x)，
其中g(x)当x→0时是比x高阶的无穷小量．求曲线y=f(x)在点(4，f(4))处的切线方程．
答案：
[解] 曲线y=f(x)在点(4，f(4))处的切线方程是
y=f(4)+f’(4)(x-4)，
由...
y=f(4)+f’(4)(x-4)，
由...
，求f(0)，f’(0)和f"(0)的值．
问答题
设函数f具有二阶导数，且f’≠1．求由方程x2ey=ef(y)确定的隐函数y=y(x)的一、二阶导数．
答案：
[解] 将原方程两边取对数，可得与原方程等价的方程
2ln|x|+y=f(y)．
将新方程两边对x求...
2ln|x|+y=f(y)．
将新方程两边对x求...
，求y’．
确定的隐函数，求y’(0)和)，y"(0)的值．
确定的隐函数，求y’．
讨论f(x)在点x=0的可导性；如果可导，求出f’(0)．
证明：f(x)在(-∞，+∞)上可导，并f’(x)．
问答题
设函数f(x)与g(x)都可导，且F(x)=g(x)|f(x)|，求证：
设函数f(x)与g(x)都可导，且F(x)=g(x)|f(x)|，求证：
(Ⅰ) 当f(x0)≠0时，F(x)在点x=x0处必可导；
(Ⅱ) 当f(x0)=0时，F(x)在点x=x0处可导的充分必要条件是f’(x0)g(x0)=0．
答案：
[证明] (Ⅰ) 当f(x0)≠0时，由f(x)的连续性知：存在δ＞0，使得当|x-x0...
在(-1，1)内连续，则f"(0)=______．
问答题
求下列函数的n阶导数：
求下列函数的n阶导数：
(Ⅰ) y=ln(6x2+7x-3)，(n≥1)；(Ⅱ) y=sin2(2x)，(n≥1)．
答案：
[解] (Ⅰ) 因为 6x2+7x-3=(3x-1)(2x+3)，所以
y=ln(6x<...
y=ln(6x<...
的单调减少区间是______．
上的最大值和最小值．
在区间(0，+∞)上的最大值为______．
问答题
如图6-1，设曲线段L是抛物线y=6-2x2在第一象限内的部分．在L上求一点M，使过M点L的切线AB与两坐标轴和L所围图形的面积为最小．
如图6-1，设曲线段L是抛物线y=6-2x2在第一象限内的部分．在L上求一点M，使过M点L的切线AB与两坐标轴和L所围图形的面积为最小．
答案：
[解] 设曲线L上点M的坐标为(x，6-2x2)，则在该点L的切线方程
Y=6-2x
Y=6-2x
问答题
设某种产品的需求函数是Q=a-bP，其中Q是该产品的销售量，P是该产品的价格，常数(a＞0，b＞0，且该产品的总成本函数为
设某种产品的需求函数是Q=a-bP，其中Q是该产品的销售量，P是该产品的价格，常数(a＞0，b＞0，且该产品的总成本函数为
．已知当边际收益MR=56以及需求价格弹性
时，出售该产品可获得最大利润．试确定常数a和b的值，并求利润最大时的产量．
答案：
首先，利用当边际收益MR=56时可获得最大利润以及极值的必要条件，可得利润最大时的产量应使边际成本MC=MR=56，由此...
问答题
设f(x)在包含原点在内的某区间(a，b)内有二阶导数，且
设f(x)在包含原点在内的某区间(a，b)内有二阶导数，且
(a＜x＜b)，证明f(x)≥x(a＜x＜b)．
答案：
[证明] 由题设知
又f"(x)＞0在(a，b)内成立，故f’(x)在(a，b)内单调增加，即当x...
又f"(x)＞0在(a，b)内成立，故f’(x)在(a，b)内单调增加，即当x...
问答题
设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，0＜f’(x)＜1(0＜x＜1)．求证：
设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，0＜f’(x)＜1(0＜x＜1)．求证：
答案：
[证明一] 引入辅助函数，则F(x)在[0，1]可导，且F(0)=0，
由f(0)=0，f’(x)...
由f(0)=0，f’(x)...
问答题
设函数f(x)在[0，+∞)有连续的一阶导数，在(0，+∞)二阶可导，且f(0)=f’(0)=0，又当x＞0时满足不等式
设函数f(x)在[0，+∞)有连续的一阶导数，在(0，+∞)二阶可导，且f(0)=f’(0)=0，又当x＞0时满足不等式
xf"(x)+4ef(x)≤2ln(1+x)．
求证：当x＞0时f(x)＜x2成立．
答案：
[分析与证明] 由题设知，当x＞0时
xf"(x)＜xf"(x)+4ef(x)≤2ln(...
xf"(x)＜xf"(x)+4ef(x)≤2ln(...
问答题
设f(x)是区间[a，b]上单调减少的连续函数，且f(x)＞0在[a，b]上成立．求证：在(a，b)内存在唯一的c，使在区间[a，c]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积与在[c，b]上以f(c)为高的矩形面积相等．
答案：
[分析与证明]
由题设知F(x)在[a，b]上连续，且
于是，由闭区间上连续...
由题设知F(x)在[a，b]上连续，且
于是，由闭区间上连续...
问答题
设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(c)=f(b)，其中c是(a，b)内的一点，且f(x)在[a，b]内的任何区间I上f(x)都不恒等于常数．求证：在(a，b)内至少存在一点ξ，使f"(ξ)＜0．
答案：
[证明] 由题设知f(x)在[a，c]上和[c，b]上分别满足罗尔定理的条件，于是存在α∈(a，c)，β∈(c，b)，使...
问答题
设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)=0．求证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得(2ξ+1)f(ξ)+ξf’(ξ)=0．
答案：
[证明] 因ξ∈(0，1)，故
其中
若函数p(x)还满足p’(x)=p(x)(2+)当...
其中
若函数p(x)还满足p’(x)=p(x)(2+)当...
问答题
设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=2，f(1)=0．求证：存在0＜η＜ζ＜1，使得f’(η)f’(ζ)=4．
答案：
[证明] 由于g(x)=f(x)-2x在[0，1]上连续，且g(0)=2，g(1)=-2，故由有界闭区间上连续函数的性质...
问答题
设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=1，
设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=1，
．求证：对任何满足0＜k＜1的常数k，存在ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=-k．
答案：
[证明] 令F(x)=f(x)+kx，则F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F’(x)=f’(x)+k，F...
问答题
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f（a）=f（b）=0，证明：至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（ξ）=-ξf′（ξ）
答案：
证明：设F（x）=xf（x），显然函数F（x）在区间[a，b]上连续，在（a，b）内可导，
且F（a）=af（...
且F（a）=af（...
问答题
设函数f(x)在[a，b]上一阶可导，在(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(b)=0，f’(a)f’(b)＞0．求证：
设函数f(x)在[a，b]上一阶可导，在(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(b)=0，f’(a)f’(b)＞0．求证：
(Ⅰ)
使得f’(ξ)=f(ξ)；
(Ⅱ)
使得f"(η)=f(η)．
答案：
[证明] (Ⅰ) 要证使得f’(ξ)=f(ξ)
引入辅助函数F(x)=e-x...
引入辅助函数F(x)=e-x...
问答题
设f(x)在[-1，1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，求证：
设f(x)在[-1，1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，求证：
，使f’"(ξ)=3．
答案：
[证明] 分别把f(-1)和f(1)在x=0展开成泰勒公式，并利用题设可得
两式相减消去其中未知的...
两式相减消去其中未知的...
问答题
设函数f(x)在[0，1]二阶可导，且f(0)=f’(0)=f’(1)=0，f(1)=1．求证：存在ξ∈(0，1)，使|f"(ξ)|≥4．
答案：
[证明] 把函数f(x)在x=0展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，得
在公式中取利用题设可得
在公式中取利用题设可得
问答题
设函数f(x)在(-∞，+∞)三阶可导，且存在正数M，使得|f(x)|≤M，|f’"(x)|≤M对
设函数f(x)在(-∞，+∞)三阶可导，且存在正数M，使得|f(x)|≤M，|f’"(x)|≤M对
成立．求证：f’(x)，f"(x)在(-∞，+∞)有界．
答案：
[分析与证明] 将f(x+1)与f(x-1)分别在点x展开成带拉格朗日余项的二阶泰勒公式得
为估计...
为估计...
，求f(0)，f’(0)与f"(0)之值．
问答题
设f(x)在x=a的某邻域内具有n阶导数，且
设f(x)在x=a的某邻域内具有n阶导数，且
，则f(a)=f’(a)=f"(a)=…=f(n-1)(a)=0，f(n)(a)=n!A．
答案：
[证明] 把f(x)的带皮亚诺余项的泰勒公式
代入可得
即
代入可得
即
问答题
设f(x)在[0，1]上可导，且f(x)≥0，f’(x)＜0．求证：函数
设f(x)在[0，1]上可导，且f(x)≥0，f’(x)＜0．求证：函数
满足
答案：
[证明] 由f’(x)＜0知f(x)在[0，1]上单调减少，故x∈[0，1)有f(x)＞f(0)≥0，再由当x∈[0，1...
问答题
设函数f(x)在(-∞，+∞)上连续，f(0)=0，且对任何x，t∈(-∞，+∞)满足
设函数f(x)在(-∞，+∞)上连续，f(0)=0，且对任何x，t∈(-∞，+∞)满足
．
试求f(x)在(-∞，+∞)上的导函数f’(x)．
答案：
[解] 当x≠0时，令xt≠=u，可得
于是，当x≠0时即
由f(x)的连续性知可导，从而xf(x)...
于是，当x≠0时即
由f(x)的连续性知可导，从而xf(x)...
的原函数F(x)的表达式中不包含对数函数，则常数a和b必须满足条件______．
，其中常数a和b满足ab≠0．
问答题
设非负函数f(x)在区间[0，1]上连续且单调非增，常数a与b满足0＜a＜b≤1．求证：
设非负函数f(x)在区间[0，1]上连续且单调非增，常数a与b满足0＜a＜b≤1．求证：
答案：
[证法一]
[证法二] 把结论中的积分上限b改为变量x，并把积分变量x改为t，从而转化为证明：当0...
[证法二] 把结论中的积分上限b改为变量x，并把积分变量x改为t，从而转化为证明：当0...
问答题
设直线y=c与曲线y=8x-x4在第一象限中交于两点A和B，且使得图中两个阴影区域的面积S1与S2相等，求常数c的值．
答案：
[解] 设点A的横坐标为a，点B的横坐标为b，如图13-1．又设f(x)=8x-x4，则
...
...
问答题
如图13-2，设单位圆x2+y2=1上点M(x0，y0)处的切线L与抛物线y=x2-2围成的图形的面积S达到最小，求点M的坐标和切线L的方程．
如图13-2，设单位圆x2+y2=1上点M(x0，y0)处的切线L与抛物线y=x2-2围成的图形的面积S达到最小，求点M的坐标和切线L的方程．
答案：
[解] 设切线L的方程为y=kx-b，其中b＞0(从几何图形知，当面积S最小时点M应位于单位圆的下半圆上，故可作以上假设...
问答题
设平面图形D由x2+y2≤2x与x+y≥2所确定，求平面图形D绕y轴旋转一周所得旋转体的体积．
答案：
[解法一] 平面图形，在平面图形D绕y轴旋转一周所得旋转体中，满足x→x+dx的一层形状为圆筒形薄片，其厚度为dx，半径...
，则
问答题
设由曲线
设由曲线
与直线x=a(0＜a＜1)以及y=0，y=1围成的平面图形(如图的阴影部分)绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V(a)，求V(a)的最小值与最小值点．
答案：
[解法一] 由曲线与直线x=a(0＜a＜1)以及y=0，y=1围成的平面图形可分为两个部分区域
在...
在...
问答题
设二元函数y=f(x，y)满足f(x，1)=0，f’y(x，0)=sinx，f"yy(x，y)=2x，则f(x，y)=______．
答案：
将f"yy的两边对y积分，得f’y(x，y)=2xy+φ(x)．由f’
，则
=______．
问答题
设u=f(x，z)，z=z(x，y)由方程
设u=f(x，z)，z=z(x，y)由方程
z=x+yφ(z)
确定，其中f(x，z)有连续偏导数，φ(z)有连续导数且1-yφ’(z)≠0，求du．
答案：
[分析与求解] ．下求dz．
由 z=z+yφ(z)得
代入得
由 z=z+yφ(z)得
代入得
则df(0，1)=______．
，而中间变量u满足关系式
，其中u(x，y)和f(u)均为可微函数，如果
，则u(x，y)=______．
，其中f有连续的二阶偏导数，求dz和
问答题
设u=u(x，y)在区域D=|(x，y)|x＞0，-∞＜y＜+∞有连续偏导数，则在区域D上，u(x，y)=
设u=u(x，y)在区域D=|(x，y)|x＞0，-∞＜y＜+∞有连续偏导数，则在区域D上，u(x，y)=
的充要条件是
((x，y)∈D)．
答案：
[分析与证明] (Ⅰ) 若
(Ⅱ) 若((x，y)∈D)，对u=u(x，y)作变换x，y是s，t的...
(Ⅱ) 若((x，y)∈D)，对u=u(x，y)作变换x，y是s，t的...
，且在极坐标系下可表成f(x，y)=g(r)，
求f(x，y)．
问答题
设y=g(x，z)，而z=z(z，y)是由方程f(x-z，xy)=0所确定，其中函数f，g均有连续偏导数，求
设y=g(x，z)，而z=z(z，y)是由方程f(x-z，xy)=0所确定，其中函数f，g均有连续偏导数，求
．
答案：
[分析与求解一] 这里有三个变量(x，y，z)，两个方程式，确定两个因变量．按题意，x为自变量，y，z为因变量．由方程组...
问答题
设某种产品须投入两种要素，K和L分别是两种要素的投入量，其价格分别为常数PK和PL，Q为产品的产出量．设生产函数为
设某种产品须投入两种要素，K和L分别是两种要素的投入量，其价格分别为常数PK和PL，Q为产品的产出量．设生产函数为
，其中A＞0，α＞0为常数，a和b是参数，且满足a+b=1．当成本为M时，试确定两种要素的投入量，以使产量Q达到最高．
答案：
[解] 为求导方便，改变函数形式
当α＞0时，是Q的增函数，当达到最大值时，Q也达到最大值．又依题...
当α＞0时，是Q的增函数，当达到最大值时，Q也达到最大值．又依题...
在闭区域D=(x，y)|x2+2y2≤4上的最大值与最小值．
若x=rcosθ，r=rsinθ，则I在极坐标(r，θ)中的累次积分为______．
，其中D={(x，y)|(x-1)2+(y-1)2≤2
，则
化为定积分，其中D=(x，y)|x2+y2≤x．
，i=1，2，3，其中
问答题
设区域D=(x，y)|1≤x≤2，0≤y≤x，x2+y2≥2x，求二重积分
设区域D=(x，y)|1≤x≤2，0≤y≤x，x2+y2≥2x，求二重积分
答案：
[分析与求解] D是圆周x2+y2=2x((x-1)2+y2=1)的外部与△OAB={(x，y)|1≤x≤2，0≤y≤x
，其中D是圆周x2+y2=2ax所围成的区域，a＞0．
=______．
，其中D是由直线y=x与
在第一象限围成的区域．
，其中D是由y=x3，y=1，x=-1所围区域．
，其中D是由直线y=x与y=3x在第一象限围成的区域．
问答题
设f(x)在|x|＜1上有定义，在x=0某邻域有一阶连续的导数且
设f(x)在|x|＜1上有定义，在x=0某邻域有一阶连续的导数且
．
求证：(Ⅰ)
(Ⅱ)
答案：
[分析与证明] 首先由条件及极限的不等式性质可知，，当0＜x＜δ时f(x)＞0n充分大后，不妨认为，n=1，2，3，…．...
(常数a＞0)是条件收敛还是绝对收敛，或发散．
的收敛域为______．
的收敛域为______．
的收敛域与和函数．
的收敛域及和函数．
的收敛半径，收敛域与和函数．
展成x的幂级数．
问答题
设
设
(Ⅰ) 确定常数A，使得f(x)在(-∞，+∞)
次可导，并求它的幂级数展开式；
(Ⅱ) 求f(8)(0)与f(9)(0)．
答案：
[分析与求解] (Ⅰ) 已知，故
右端幂级数在x=0取值为1．
f(x)首先要在x=0连...
右端幂级数在x=0取值为1．
f(x)首先要在x=0连...
问答题
(Ⅰ) 已知(x2+2x)y’+y=0，求通解；
(Ⅰ) 已知(x2+2x)y’+y=0，求通解；
(Ⅱ) 已知xy’=y(1+lny-lnx)，求通解；
(Ⅲ) 已知
，求通解及满足y(0)=1的特解；
(Ⅳ) 求微分方程
的通解及满足y(1)=1的特解；
(Ⅴ) 已知
分别有解
求方程
满足y(0)=1的特解；
(Ⅵ) 已知
有特解
，求该方程的通解．
答案：
[解] 先判断方程的类型，然后再按照方程的类型采用相应的方法求解．
(Ⅰ) 这是可分离变量方程．分离变量得
(Ⅰ) 这是可分离变量方程．分离变量得
问答题
设a≠0为常数，f(x)在(-∞，+∞)连续，考察一阶线性常系数方程
设a≠0为常数，f(x)在(-∞，+∞)连续，考察一阶线性常系数方程
y’+ay=f(x) (x∈(-∞，+∞))． (*)
(Ⅰ) 求通解的表达式；
(Ⅱ) 设a＞0，又f(x)有界且
收敛，求证：方程(*)只有一个解在(-∞，+∞)有界；
(Ⅲ) 若又有f(x)以T为周期，求证：方程(*)只有一个解是以T为周期的．
答案：
[分析与求解] (Ⅰ) 将方程两边乘以得
(yeax)’=eaxf...
(yeax)’=eaxf...
问答题
设函数y(x)在任意点处的增量
设函数y(x)在任意点处的增量
，其中α是当△x→0时比△x较高阶的无穷小，且y(0)=π，则y(1)=______．
答案：
首先尝试从△y的表达式直接求y(1)．为此，设x0=0，△x=1，于是△y=y(x0
问答题
已知二阶常系数线性齐次方程有两个解：y1=exsin3x，y2=excos3x，则该微分方程为______．
答案：
由两个特解可知该二阶方程相应的特征根为λ=1±3i，由根与系数关系知，相应的特征方程为
λ2
λ2
满足y0=4的特解．
问答题
已知y*=exsinx+excosx+e2x是二阶常系数线性微分方程y"+ay’+by=ce2x的一个特解，试确定常数a，b，c的值，并求此方程的通解．
答案：
[解] 计算可得
(y*)’=ex(sinx+cosx)+e
(y*)’=ex(sinx+cosx)+e
问答题
求下列一阶常系数线性差分方程的通解：
求下列一阶常系数线性差分方程的通解：
(Ⅰ) yt+1-2yt=3+t； (Ⅱ) yt+1-yt=3+t；
(Ⅲ) yt+1-yt=4·2t； (Ⅳ) yt+1-2yt=4·2t．
答案：
[解] (Ⅰ) 设通解为yt=C·2t+At+B，其中C为任意常数，A与B为...
①
，求f(x)．
，求f(x)．
问答题
设一凸的光滑曲线连接O(0，0)，A(1，4)两点，而P(x，y)为曲线上任意一点，已知曲线与线段
设一凸的光滑曲线连接O(0，0)，A(1，4)两点，而P(x，y)为曲线上任意一点，已知曲线与线段
所围平面图形的面积为
，求该曲线的方程．
答案：
[分析与求解] 设曲线方程为y=y(x)．
1° 首先写出曲线y=y(x)与线段所围平面图形面积S(x)的表达...
1° 首先写出曲线y=y(x)与线段所围平面图形面积S(x)的表达...
