问答题

用分部积分法计算定积分．设f(x)是(-∞，+∞)上的连续函数，且满足f(x)=
，求f(x)．

答案：令，得f(x)=3x²-Ax，两边取区间[0，1]上的定积分，得
，
亦即，得，所以．

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答案： ln

单项选择题

用分部积分法计算定积分．计算

用分部积分法计算定积分．设f(x)是(-∞，+∞)上的连续函数，且满足f(x)=
，求f(x)．

答案：令，得f(x)=3x²-Ax，两边取区间[0，1]上的定积分，得
，
亦即，得，所以．

用分部积分法计算定积分．已知
，且f(0)=1，求f(x)．

答案：将等式两边对x求导，得，即有，
将等式两边取不定积分，得lnf(x)=2x+C₁，
...

用分部积分法计算定积分．已知
，证明
．

答案：证明：由已知，得，两边对x求导，得，即，在上式中，令，得，即．

用分部积分法计算定积分．设函数f(x)在区间[0，1]上连续，证明
．

答案：证明：作变换，令1-2x=t，得，dx=-，当x=0时，t=1；当时，t=0，则有．

用分部积分法计算定积分．设函数f(x)满足f(x)=
，证明
．

答案：证明：令，由已知，得f(x)=lnx-A，上式两边同时取区间[1，e]上的定积分，得，得eA=1，A=，即．

用分部积分法计算定积分．在区间[0，4]上计算曲线y=4-x²与x轴、y轴以及x=4所围成的图形的面积．

答案：给定的曲线所围成的平面图形(如下图所示)，其面积为，

用分部积分法计算定积分．求由抛物线y=1-x²及其在点(1，0)处的切线和y轴所围成的平面图形的面积．

答案：画出平面图形(如下图所示)，y’=-2x，y’|_x=1=-2，

过点(1，0)处的切线方程为y=-2(x-1)．则有

用分部积分法计算定积分．

设抛物线y²=2x与该曲线在点
处的法线所围平面图形为D，求D的面积．

答案：

用分部积分法计算定积分．曲线y=e^x与x轴、y轴以及直线x=4围成一个平面区域，试在区间(0，4)内找一点x₀，使直线x=x₀平分这个平面区域的面积．

答案：依题意，如下图所示，应有，得，

即，解方程得，即x₀=ln(e⁴+1)-ln2．

用分部积分法计算定积分．确定常数k，使曲线y=x²与直线x=k，x=k+2，y=0所围图形的面积最小．

答案：面积函数为，
S’=4k+4，令S’=4k+4=0，得惟一驻点k=-1，因为S"=4，S"(-1)=4＞0，

用分部积分法计算定积分．求由曲线y=2-x²，y=x(x≥0)与直线x=0所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积．

答案：本题为两条相交曲线及y轴所围成的平面图形(如下图所示)绕x轴旋转所生成的旋转体求体积，属X型，

用分部积分法计算定积分．(Ⅰ)求由直线x=0，x=2，y=0与抛物线y=-x²+1所围成的平面图形的面积； (Ⅱ)求上述平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V_x．

答案：所围成的平面图形(如下图所示) (Ⅰ)； (Ⅱ)．