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问答题
已知齐次线性方程组(I)
已知齐次线性方程组(I)
又已知齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系为ξ
1
=(2，一1，a，1)
T
，ξ
2
=(一1，0，4，a+6)
T
，试问当a为何值时，方程组(I)和(Ⅱ)有非零公共解并求出全部非零公共解．
答案：
正确答案：依题意，齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为x=k1ξ1+k2<...
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问答题
设齐次线性方程组
设齐次线性方程组
其中a≠0，b≠0，n≥2．试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解．
答案：
正确答案：方程组的系数行列式
(1)当a≠b且a≠(1一n)b时，方程组仅有零解． (2)当a=b时，对系数矩...
(1)当a≠b且a≠(1一n)b时，方程组仅有零解． (2)当a=b时，对系数矩...
问答题
已知齐次线性方程组
已知齐次线性方程组
其中
．
试讨论a
1
，a
2
，…，a
n
和b满足何种关系时，(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解．在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．
答案：
正确答案：该方程组的系数行列式为
(1)当b≠0且
时，r(A)=n，方程组仅有零解． ...
(1)当b≠0且
时，r(A)=n，方程组仅有零解． ...
问答题
已知向量组
已知向量组
试问当a，b，c满足什么条件时，
(1)β可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示，且表示式唯一；
(2)β不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示；
(3)β可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示，但表示式不唯一，并写出一般表达式．
答案：
正确答案：β可否由α1,α2,α3线性表示，即非齐次线...
试问(1)a为何值时，向量组线性无关(2)a为何值时，向量组线性相关，此时求齐次线性方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=0的通解．
问答题
设4元齐次方程组(I)为
设4元齐次方程组(I)为
且已知另一4元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为α
1
=(2，一1，a+2，1)
T
，a
2
=(一1，2，4，a+8)
T
．求方程组(I)的一个基础解系；
答案：
正确答案：对方程组(I)的系数矩阵作初等行变换，有
得方程组(I)的同解方程组
由此可得方程组(I)...
得方程组(I)的同解方程组
由此可得方程组(I)...
问答题
已知齐次线性方程组(I)
已知齐次线性方程组(I)
又已知齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系为ξ
1
=(2，一1，a，1)
T
，ξ
2
=(一1，0，4，a+6)
T
，试问当a为何值时，方程组(I)和(Ⅱ)有非零公共解并求出全部非零公共解．
答案：
正确答案：依题意，齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为x=k1ξ1+k2<...
问答题
设4元齐次方程组(I)为
设4元齐次方程组(I)为
且已知另一4元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为α
1
=(2，一1，a+2，1)
T
，a
2
=(一1，2，4，a+8)
T
．当a为何值时，方程组(I)与(Ⅱ)有非零公共解在有非零公共解时，求出全部非零公共解．
答案：
正确答案：由题设条件，方程组(Ⅱ)的全部解为
其中，k1，k2为任...
其中，k1，k2为任...
问答题
已知齐次线性方程组
已知齐次线性方程组
问a，b为何值时，方程组(I)与(Ⅱ)有非零公共解并求出全部非零公共解．
答案：
正确答案：先求方程组(I)的通解，对其系数矩阵施以初等行变换，得
由r(A)=2＜4，可知方程组(I)有非零解...
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问答题
设线性方程组
设线性方程组
与方程x
1
+2x
2
+x
3
=a—1 (Ⅱ)有公共解，求a的值及所有公共解．
答案：
正确答案：将方程组(I)与(Ⅱ)联立得
则方程组(Ⅲ)的解便是方程组(I)与(Ⅱ)的公共解． 对方程组(Ⅲ)的...
则方程组(Ⅲ)的解便是方程组(I)与(Ⅱ)的公共解． 对方程组(Ⅲ)的...
求解线性方程组(I)，用其导出组的基础解系表示通解；
同解，求a，b，c的值．
问答题
已知下列非齐次线性方程组(I)，(Ⅱ)：
已知下列非齐次线性方程组(I)，(Ⅱ)：
当方程组(Ⅱ)中的参数m，n，t为何值时，方程组(I)与(Ⅱ)同解．
答案：
正确答案：将(I)的通解代入(Ⅱ)的第一个方程，得 (一2+k)+m(一4+k)一(一5+2k)一k=一5，比较上式两端...
问答题
已知齐次线性方程组(I)为
已知齐次线性方程组(I)为
又已知线性方程组(Ⅱ)的通解为x=k
1
(s，2，3，16)
T
+k
2
(2，1，2，t)
T
，其中k
1
，k
2
是任意常数．若方程组(I)与(Ⅱ)同解，试求m，n，s，t的值．
答案：
正确答案：设η1=(s，2，3，16)T，η2=(2，...
问答题
设α 1 ,α 2 ,α 3 是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系．证明α 1 +α 2 ，α 2 +α 3 ，α 3 +α 1 也是该方程组的一个基础解系．
答案：
正确答案：由于α1,α2,α3是齐次线性方程组Ax=0...
问答题
设向量组α 1 ,α 2 ……α t 是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α 2 ，β+α 2 ，…，β+α i 线性无关．
答案：
正确答案：设有一组数k，k1，k2，…，kt使得
问答题
已知线性方程组
已知线性方程组
的一个基础解系为(b
11
,b
12
,…，b
1,2n
)
T
，(b
21
，b
22
，…，b
2,2n
)
T
，…，(b
n1
,b
n2
…，b
n,2n
)
T
．试写出线性方程组
的通解，并说明理由．
答案：
正确答案：设方程组(I)与(Ⅱ)的系数矩阵分别为A和B，则由(I)的基础解系可知ABT=O，于是B...
问答题
设矩阵A=(α 1 ,α 2 ,α 3 )，其中α 1 ,α 2 ,α 3 是4维列向量，已知非齐次线性方程组Ax=b的通解为x=k(1，一2，3) T +(1，2，一1) T ，k为任意常数．试求α 1 ,α 2 ,α 3 的一个极大线性无关组，并把向量b用此极大线性无关组线性表示；
答案：
正确答案：(1)由题设条件可知ξ=(1，一2，3)T是对应的齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，...
问答题
已知3阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a，b，C不全为零，矩阵
已知3阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a，b，C不全为零，矩阵
(k为常数)，且AB=0，求线性方程组Ax=0的通解．
答案：
正确答案：由于AB=O，故r(A)+r(B)≤3，又由a，b，c不全为零，可知r(A)≥1．当k≠9时，r(B)=2，于...
问答题
设A=(α 1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 )，其中A * 为A的伴随矩阵，α 1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 为4维列向量，且α 1 ,α 2 ,α 3 线性无关，α 4 =α 1 +α 2 ，则方程组A * x=0
答案：
正确答案：x=k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
．其中k
1
，k
2
，k
3
为任意常数．
有3个线性无关的解．证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；
A=αβ
T
，B=β
T
α．其中β
T
是β的转置，求解方程2B
2
A
2
x=A
4
x+B
4
x+γ
问答题
已知非齐次线性方程组
已知非齐次线性方程组
有3个线性无关的解．求a，b的值及方程组的通解．
答案：
正确答案：对增广矩阵B施行初等行变换，有
因r(A)=2，故4—2a=0，4a+b-5=0，解得a=2，b=一...
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已知线性方程组Ax=β有解但不唯一，试求a值；
计算行列式｜A｜；
当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC—CA=B，并求所有的矩阵C．
E为3阶单位矩阵．求线性方程组Ax=0的一个基础解系；
已知线性方程组Ax=β有解但不唯一，试求正交矩阵Q，使Q
T
AQ为对角矩阵．
当实数a为何值时，方程组Ax=β有无穷多组解，并求其通解．
E为3阶单位矩阵．求满足AB=E的所有矩阵B．
