- 搜标题
- 搜题干
- 搜选项
问答题
确定常数a和b的值，使f(x)=x－(a+6e x2 )sinx当x→0时是x的5阶无穷小量．
答案：
正确答案：利用ex2=1+x2+
+o(x<...
+o(x<...
你可能感兴趣的试题
cosx的带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式．
x
2
+o(x
3
)，从而
又 sinx
2
～x
2
(x→0)，所以
问答题
求e －x2 带皮亚诺余项的麦克劳林公式．
答案：
正确答案：把t=x
2
代入e
t
=1+t+
+o(t
n
) (t→0)即得 e
－x2
=1－x
2
+
+o(x
2n
) (x→0)．
+o(t
n
) (t→0)即得 e
－x2
=1－x
2
+
+o(x
2n
) (x→0)．
问答题
求arctanx带皮亚诺余项的5阶麦克劳林公式．
答案：
正确答案：由于(arctanx)′=
=1－x
2
+x
4
+o(x
5
)，由该式逐项积分即得 arctanx=
x
5
+o(x
6
)．
=1－x
2
+x
4
+o(x
5
)，由该式逐项积分即得 arctanx=
x
5
+o(x
6
)．
=e
4
，求f(0)，f′(0)，…，f
(n)
(0)．
， 证明
．
问答题
设f(x)在[0，1]二阶可导，｜f(0)｜≤a，｜f(1)｜≤a，｜f″(x)｜≤b，a，b为非负数，求证：
设f(x)在[0，1]二阶可导，｜f(0)｜≤a，｜f(1)｜≤a，｜f″(x)｜≤b，a，b为非负数，求证：
c∈(0，1)，有｜f′(c)｜≤2a+
b．
答案：
正确答案：考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式：
x∈[0，1]，
c∈(0，1)，有 f(x)=f(c...
x∈[0，1]，
c∈(0，1)，有 f(x)=f(c...
问答题
设f(x)在[a，b]三次可微，证明：
设f(x)在[a，b]三次可微，证明：
ξ∈(a，b)，使得
f(b)=f(a)+f′
(b－a)
3
(ξ)．
答案：
正确答案：将f(x)在x0=
展成二阶泰勒公式并分别令x=b与x=a得
其中ξ...
展成二阶泰勒公式并分别令x=b与x=a得
其中ξ...
问答题
求下列函数f(x)在x=0处带拉格朗日余项的n阶勒公式：
(Ⅰ)f(x)=
求下列函数f(x)在x=0处带拉格朗日余项的n阶勒公式：
(Ⅰ)f(x)=
；
(Ⅱ)f(x)=e
x
sinx．
答案：
正确答案：(Ⅰ)由f(x)=
，可得对m=1，2，3，…有 f(m)(x)=2(－1)<...
，可得对m=1，2，3，…有 f(m)(x)=2(－1)<...
(Ⅱ)
问答题
用泰勒公式确定下列无穷小量当x→0时关于x的无穷小阶数：
(Ⅰ)
用泰勒公式确定下列无穷小量当x→0时关于x的无穷小阶数：
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(e
t
－1－t)
2
dt．
答案：
正确答案：(Ⅰ)
因此当x→0时
是x的二阶无穷小量． (Ⅱ)因et－1－t=...
因此当x→0时
是x的二阶无穷小量． (Ⅱ)因et－1－t=...
问答题
设f(x)在(0，+∞)三次可导，且当
设f(x)在(0，+∞)三次可导，且当
x∈(0，+∞)时
｜f(x)｜≤M
0
， ｜
(x)｜≤M
3
，
其中M
0
，M
3
为非负常数，求证f″(x)在(0，+∞)上有界．
答案：
正确答案：分别讨论x＞1与0＜x≤1两种情形． 1)当x＞1时考察二阶泰勒公式 f(x+1)=f(x)+f′(x)+
问答题
设函数f(x)在[0，1]二阶可导，且f(0)=f′(0)=f′(1)=0，f(1)=1．求证：存在ξ∈(0，1)，使｜f″(ξ)｜≥4．
答案：
正确答案：把函数f(x)在x=0与x=1分别展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，得 f(x)=f(0)+f′(0)x+<...
问答题
设f(x)在(x
0
－δ，x
0
+δ)有n阶连续导数，且f
(k)
(x
0
)=0，k=2，3，…，n－1；f
(n)
(x
0
)≠0．当0＜｜h｜＜δ时，f(x
0
+h)－f(x
0
)=hf′(x
0
+θh)，(0＜θ＜1)．求证：
设f(x)在(x
0
－δ，x
0
+δ)有n阶连续导数，且f
(k)
(x
0
)=0，k=2，3，…，n－1；f
(n)
(x
0
)≠0．当0＜｜h｜＜δ时，f(x
0
+h)－f(x
0
)=hf′(x
0
+θh)，(0＜θ＜1)．求证：
答案：
正确答案：这里m=1，求的是当h→0时中值θ的极限．分别将f′(x0+θh)与f(x0<...
问答题
求下列函数的带皮亚诺余项至括号内所示阶数的麦克劳林公式：
(Ⅰ)f(x)=e
x
cosx (x
3
)；
(Ⅱ)f(x)=
求下列函数的带皮亚诺余项至括号内所示阶数的麦克劳林公式：
(Ⅰ)f(x)=e
x
cosx (x
3
)；
(Ⅱ)f(x)=
(x
3
)；
(Ⅲ)f(x)=
，其中a＞0 (x
2
)．
答案：
正确答案： (Ⅰ)ex=1+x+
x3+o(x3
x3+o(x3
(Ⅱ)
问答题
确定下列无穷小量当x→0时关于x的阶数：
(Ⅰ)f(x)=e
x
－1－x－
确定下列无穷小量当x→0时关于x的阶数：
(Ⅰ)f(x)=e
x
－1－x－
xsinx；
(Ⅱ)f(x)=(1+
)cosx－1．
答案：
正确答案：(Ⅰ)原式=1+x+
x3+o(x3)， 所以x→0时e...
x3+o(x3)， 所以x→0时e...
(Ⅱ)
(Ⅲ)
=6．
=1，求f(0)，f′(0)，f″(0)．
问答题
设f(x)在x=a处n(n≥2)阶可导，且当x→a时f(x)是x→a的凡阶无穷小，求证：f(x)的导函数f′(x)当x→a时是x－a的n－1阶无穷小．
答案：
正确答案：f(x)在x=a可展成 f(x)=f(a)+f′(a)(x一a)+
f″(a)(x一a)2+…+
f″(a)(x一a)2+…+
问答题
设f(x)在x=a处四阶可导，且f′(a)=f″(a)=
设f(x)在x=a处四阶可导，且f′(a)=f″(a)=
(a)=0，但f
(4)
(a)≠0，求证：当f
(4)
(a)＞0(＜0)时x=a是f(x)的极小(大)值点．
答案：
正确答案：f(x)一f(a)=f′(a)(x一a)+
(a)(x一a)3+
f...
(a)(x一a)3+
f...
问答题
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，证明：
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，证明：
ξ∈(a，b)使得
f(b)－2f
(b－a)
2
f″(ξ)．
答案：
正确答案：在x=
处展成
分别令x=a，b
两式相加
由导函数的中间值定理
ξ在η
1
，η
2
之间(ξ∈(a，b))，使得
处展成
分别令x=a，b
两式相加
由导函数的中间值定理
ξ在η
1
，η
2
之间(ξ∈(a，b))，使得
问答题
设f(x)为n+1阶可导函数，求证：f(x)为n次多项式的充要条件是f (n+1) (x)≡0，f (n) (x)≠0．
答案：
正确答案：由带拉格朗日余项的n阶泰勒公式得 f(x)=f(0)+f′(0)x+…+
若f(n+1)<...
若f(n+1)<...
问答题
设f(x)在(0，+∞)二阶可导且f(x)，f″(x)在(0，+∞)上有界，求证：f′(x)在(0，+∞)上有界．
答案：
正确答案：按条件，联系f(x)，f″(x)与f′(x)的是带拉格朗日余项的一阶泰勒公式．
x＞0，h＞0有 f...
x＞0，h＞0有 f...
问答题
设f(x)在[a，b]二阶可导，f(x)＞0，f″(x)＜0((x∈(a，b))，求证：
设f(x)在[a，b]二阶可导，f(x)＞0，f″(x)＜0((x∈(a，b))，求证：
f(x)dx．
答案：
正确答案：联系f(x)与f″(x)的是泰勒公式．
x0∈[a，b]，f(x0<...
x0∈[a，b]，f(x0<...
