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问答题
设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫ 0 π f(x)dx=∫ 0 π f(x)cosdx=0。试证明在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ 1 ，ξ 2 ，使f(ξ 1 )=f(ξ 2 )=0。
答案：
正确答案：令F(x)=∫0xf(t)dt，0≤x≤π，则有F(0)=0，F(...
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0
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答案：
正确答案：证明： 必要性：设φ(A)=∫aa+1f(x)dx一∫0...
问答题
设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫ 0 π f(x)dx=∫ 0 π f(x)cosdx=0。试证明在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ 1 ，ξ 2 ，使f(ξ 1 )=f(ξ 2 )=0。
答案：
正确答案：令F(x)=∫0xf(t)dt，0≤x≤π，则有F(0)=0，F(...
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，故可将被积函数分解，并用分部积分法有
问答题
设f(x)在区间[a，b]上可导，且满足
设f(x)在区间[a，b]上可导，且满足
，证明至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=f(ξ).tanξ。
答案：
正确答案：由f(x)在区间[a，b]上可导，知f(x)在区间[a，b]上连续，从而F(x)=f(x).cosx 在
问答题
证明：(I)若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得∫ a b f(x)dx=f(η)(b一a);
答案：
正确答案：设M与m是连续函数f(x)在[a，b]上的最大值与最小值，即 m≤f(x)≤M，x∈[a，b]。 根据定积分性...
问答题
若函数φ(x)具有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞∫ 2 3 φ(x)dx，则至少存在一点ξ∈(1，3)，使得φ""(ξ)＜0。
答案：
正确答案：由(I)的结论可知至少存在一点η∈[2，3]，使 ∫23φ(x)d...
问答题
设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数。试证存在x 0 ∈(0，1)，使得在区间[0，x 0 ]上以f(x 0 )为高的矩形面积等于在区间[x 0 ，1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积；
答案：
正确答案：本题可转化为证明x0f(x0)=∫0
问答题
设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且满足∫ a x f(t)dt≥∫ a x g(t)dt，x∈[a，b)，∫ a b f(t)dt=∫ a b g(t)dt。证明∫ a b f(x)dx≤∫ a b xg(x)dx。
答案：
正确答案：令F(x)=f(x)一g(x)，G(x)=∫0xF(t)dt，由题...
问答题
设f(x)，g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,f"(x)≥0,g"(x)≥0。证明对任何a∈[0，1]，有∫ 0 a g(x)f"(x)dx+∫ 0 1 f(x)g"(x)dx≥f(A)g(1)。
答案：
正确答案：设F(x)=∫0xg(t)f"(t)dt+∫0
问答题
设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数。又设f(x)在区间(0，1)内可导，且
设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数。又设f(x)在区间(0，1)内可导，且
证明中的x
0
是唯一的。
答案：
正确答案：令F(x)=xf(x)一∫01f(t)dt，且由
有 F...
有 F...
证明曲线y=f(x)在区间(ln2，+∞)上与x轴围成的区域有面积存在，并求此面积。
问答题
椭球面S
2
是椭圆
椭球面S
2
是椭圆
绕戈轴旋转一周而成，圆锥面S
2
是过点(4，0)且与椭圆
相切的直线绕x轴旋转一周而成。
(I)求S
1
及S
2
的方程；
(Ⅱ)求S
1
与S
2
之间的立体体积。
答案：
正确答案：(I)由题意得S
1
的方程为
