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问答题
已知R 3 的两组基 α 1 =(1，0，一1) T ，α 2 =(2，1，1) T ， α 3 =(1，1，1) T 与β 1 =(0，1，1) T ， β 2 =(一1，1，0) T ，β 3 =(1，2，1) T ． (Ⅰ)求由基α 1 ，α 2 ，α 3 到基β 1 ，β 2 ，β 3 的过渡矩阵； (Ⅱ)求γ=(9，6，5) T 在这两组基下的坐标； (Ⅲ)求向量δ，使它在这两组基下有相同的坐标．
答案：
正确答案：(Ⅰ)设从基α1，α2，α3到基β...
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问答题
求向量组 α 1 =(1，1，4，2) T ，α 2 =(1，一1，一2，4) T ，α 3 =(一3，2，3，一11) T ，α 4 =(1，3，10，0) T 的一个极大线性无关组．
答案：
正确答案：把行向量组成矩阵，用初等行变换化成阶梯形，有
所以，α
1
，α
2
是一个极大线性无关组．
所以，α
1
，α
2
是一个极大线性无关组．
问答题
已知向量组(Ⅰ)α 1 ，α 2 ，α 3 ；(Ⅱ)α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 ；(Ⅲ)α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 5 ，如果它们的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4，求r(α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 +α 5 )．
答案：
正确答案：由r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，知α1，α2，α3...
问答题
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答案：
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问答题
判断下列3维向量的集合是不是R
3
的子空间，如是子空间，则求其维数与一组基：
(Ⅰ)W
1
={(x，y，x)｜x＞0}；
(Ⅱ)W
2
={x，y，z)｜x=0}；
(Ⅲ)W
3
={(x，y，z)｜x+y－2z=0}；
(Ⅳ)W
4
：{(x，y，z)｜3x－2y+z=1}；
(Ⅴ)W
5
={(x，y，z｜
判断下列3维向量的集合是不是R
3
的子空间，如是子空间，则求其维数与一组基：
(Ⅰ)W
1
={(x，y，x)｜x＞0}；
(Ⅱ)W
2
={x，y，z)｜x=0}；
(Ⅲ)W
3
={(x，y，z)｜x+y－2z=0}；
(Ⅳ)W
4
：{(x，y，z)｜3x－2y+z=1}；
(Ⅴ)W
5
={(x，y，z｜
}．
答案：
正确答案：(Ⅰ)W1不是子空间，因为W1对数乘向量不封闭．例如α=(1，2，...
问答题
已知α 1 =(1，1，1，1) T ，α 2 =(1，1，一1，一1) T ，α 3 =(1，一1，1，一1) T ，α 4 =(1，一1，一1，1) T 是R4的一组基，求β=(1，2，1，1)在这组基下的坐标．
答案：
正确答案：设x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=β，按分量写出，有
因此，β在基α
1
，α
2
，α
3
，α
4
下的坐标是
因此，β在基α
1
，α
2
，α
3
，α
4
下的坐标是
问答题
已知α
1
=
已知α
1
=
是R
3
的一组基，证明β
1
=
β
3
=
也是R
3
的一组基，并求由基α
1
，α
2
，α
3
到基β
1
，β
2
，β
3
的过渡矩阵．
答案：
正确答案：由于｜β1，β2，β3｜=
=4≠...
=4≠...
问答题
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答案：
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答案：
正确答案：由α3=2α1一3α2知α1
)．
