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问答题
把下列函数展成x的幂级数：
把下列函数展成x的幂级数：
答案：
[解]
且f(0)=0 于是
且f(0)=0 于是
你可能感兴趣的试题
而
收敛，
收敛．故
绝对收敛．
的敛散性，其中，α，β为常数．
问答题
证明如下命题成立：设a
n
＞0，且{na
n
}有界，试证：
证明如下命题成立：设a
n
＞0，且{na
n
}有界，试证：
收敛；
答案：
[证]因为a
n
＞0，{na
n
}有界，所以
使0≤na
n
≤M，即
于是
因为
收敛，所以
收敛，故
收敛．
使0≤na
n
≤M，即
于是
因为
收敛，所以
收敛，故
收敛．
所以级数收敛，当a≠b时，级数发散．
问答题
设f
0
(x)在区间[0，a](a＞0)上连续，而且
设f
0
(x)在区间[0，a](a＞0)上连续，而且
x∈[0，a](n=1，2，…)，试证：无穷级数
在[0，a]上是绝对收敛的．
答案：
[证]因为f0(x)在[0，a]上连续，所以|f0(x)|在[0，a]上连续...
试证：
收敛．
为正项级数，
收敛，由正项级数比较法的极限形式可知，
收敛．
证明级数
绝对收敛．
问答题
设函数f(x)在[a，b]上满足a≤f(x)≤b，|f"(x)|≤q＜1，令u
n
=f(u
n-1
)，n=1，2，3，…，u
0
∈[a，b]，证明：
设函数f(x)在[a，b]上满足a≤f(x)≤b，|f"(x)|≤q＜1，令u
n
=f(u
n-1
)，n=1，2，3，…，u
0
∈[a，b]，证明：
绝对收敛．
答案：
[证]因为
|un+1-un|=|f(un)...
|un+1-un|=|f(un)...
问答题
设a
n
＞0(n=1，2，…)，{a
n
}单调减，
设a
n
＞0(n=1，2，…)，{a
n
}单调减，
发散，判别
的敛散性．
答案：
[解]由题设有a
n
＞a
n+1
，若
则由莱布尼茨判别准则，交错级数
收敛，与假设矛盾，故
由根值判别法，有
故级数收敛．
则由莱布尼茨判别准则，交错级数
收敛，与假设矛盾，故
由根值判别法，有
故级数收敛．
问答题
设u
1
=1，u
2
=2，当n≥3时，u
n
=u
n-2
+u
n-1
，判别
设u
1
=1，u
2
=2，当n≥3时，u
n
=u
n-2
+u
n-1
，判别
的敛散性．
答案：
[解]显然u
n
递增，即u
n-2
＜u
n-1
，于是
亦有
因此
收敛，故
收敛．
亦有
因此
收敛，故
收敛．
即|1-x|＜|1+x|，亦即x＞0时，
收敛．
收敛，
的收敛域为[0，+∞)．
即
亦即
时，
收敛；
时，原级数
收敛；
时，原级数
收敛．
的收敛域为
收敛半径
在x=1处；
在x=1处；
