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问答题
设a＞0为常数，求积分I=
设a＞0为常数，求积分I=
xy
2
dσ，其中D：x
2
+y
2
≤ax．
答案：
正确答案：D是圆域(如图9．10)：(x一
作极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ，并由D关于x轴对称，x...
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问答题
求下列曲面积分：
(Ⅰ)I=
求下列曲面积分：
(Ⅰ)I=
ydS，其中∑是平面x+y+z=1被圆柱面x
2
+y
2
=1截出的有限部分；
(Ⅱ)I=
zdS，其中∑是锥面z=
在柱体x
2
+y
2
≤2x内的部分．
答案：
正确答案：(Ⅰ)积分曲面的表达式为z=1－x－y，∑在xy平面上的投影为圆D：x2+y2...
问答题
求下列曲面积分：
(Ⅰ)I=
求下列曲面积分：
(Ⅰ)I=
xyzdxdy +xzdydz+z
2
dzdx，其中x
2
+z
2
=a
2
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(Ⅱ)I=
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y2
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问答题
求区域Ω的体积V，其中Ω是半球面z=
求区域Ω的体积V，其中Ω是半球面z=
及旋转抛物面x
2
+y
2
=2az所围成．
答案：
正确答案：先解方程组
得两曲面的交线为
由立体的形状可知，它在Oxy平面上的投影为圆域D={(x，y...
得两曲面的交线为
由立体的形状可知，它在Oxy平面上的投影为圆域D={(x，y...
问答题
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答案：
正确答案：
如图9．64，Ω={(x，y，z｜
(z，x)∈Dzx}， D
如图9．64，Ω={(x，y，z｜
(z，x)∈Dzx}， D
问答题
求下列曲面的面积：
(Ⅰ)半球面z=
求下列曲面的面积：
(Ⅰ)半球面z=
及旋转抛物面2az=x
2
+y
2
所围立体的表面S；
(Ⅱ)锥面z=
被柱面z
2
=2x所割下部分的曲面S．
答案：
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问答题
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答案：
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设位于点(0，1)的质点A对于质点M的引力大小为
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(Ⅰ)质点M沿曲线y=
自b(2，0)运动到O(0，0)；
(Ⅱ)质点M在圆x
2
+y
2
=2
2
上由B点沿逆时针方向运动到B点．
答案：
正确答案：(Ⅰ)由曲线的参数方程计算曲线积分． 半圆的参数方程
θ∈[0，π]．
(Ⅱ)求出了原函数...
θ∈[0，π]．
(Ⅱ)求出了原函数...
问答题
设流速V=(x
2
+y
2
)j+(z－1)k，求下列情形流体穿过曲面∑的体积流量Q(如图9．69)：
设流速V=(x
2
+y
2
)j+(z－1)k，求下列情形流体穿过曲面∑的体积流量Q(如图9．69)：
(Ⅰ)∑为圆锥面x
2
+y
2
=z
2
(0≤z≤1)，取下侧；
(Ⅱ)∑为圆锥体(z
2
≥x
2
+y
2
，0≤z≤1)的底面，法向量朝上．
答案：
正确答案：(Ⅰ)首先，用曲面积分表示流量，即 Q=
(x2+y2)...
(x2+y2)...
t＞0，又设F(t)=
f(x
2
+y
2
+z
2
)dV，求
因此
dxdy；
问答题
计算I=
计算I=
dxdy，其中D为曲线y=lnx与二直线y=0，y=(e+1)－x所围成的平面区域．
答案：
正确答案：y=lnx与y=(e+1)一x的交点是(e，1)，D如图9．5所示，在Oxy坐标系中选择先x后y的积分顺序(D...
问答题
计算I=
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x
2
e
－y2
dxdy，其中D是以O(0，0)，A(1，1)，B(－1，1)为顶点的三角形区域．
答案：
正确答案：D如图9．6所示，D关于y轴对称，被积函数对x为偶函数．
I=2
x2
I=2
x2
dσ，其中D：1≤x
2
+y
2
≤9，
．于是
｜sin(x－y)｜dxdy，其中D：0≤x≤y≤2π；
(x+y)
2
dxdy，其中D：｜x｜+｜y｜≤1；
dxdy，其中D：x≥0，y≥0，x+y≤1；
于是
问答题
设a＞0为常数，求积分I=
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xy
2
dσ，其中D：x
2
+y
2
≤ax．
答案：
正确答案：D是圆域(如图9．10)：(x一
作极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ，并由D关于x轴对称，x...
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f(x，y)dy；
