- 搜标题
- 搜题干
- 搜选项
问答题
(2006年试题，23)设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α 1 =(一1，2，一1) T ，α 2 =(0，一1，1) T 是线性方程组Ax=0的两个解．(I)求A的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得Q T AQ=A．
答案：
正确答案：(I)依题意，因为
所以矩阵A的特征量是3，α=(1，1，1)T是A属于3的特...
所以矩阵A的特征量是3，α=(1，1，1)T是A属于3的特...
你可能感兴趣的试题
问答题
(2003年试题，十二)已知平面上三条不同直线的方程分别为l 1 ：ax+2b+3c=0l 2 ：bx+2cy+3a=0l 3 ：cx+2xy+3b=0试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0
答案：
正确答案：由题设，三条直线交于一点等价于线性非齐次方程组
（1）有唯一解，下面先证必要性，设系数矩阵为A，增广...
（1）有唯一解，下面先证必要性，设系数矩阵为A，增广...
问答题
(2004年试题，三(8))设有齐次线性方程组
(2004年试题，三(8))设有齐次线性方程组
试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解
答案：
正确答案：由题设，方程组系数矩阵为
经初等行变换可化为
当a=0时，r(A)=1<4，则方程组有非0...
经初等行变换可化为
当a=0时，r(A)=1<4，则方程组有非0...
问答题
(2012年试题，三)设
(2012年试题，三)设
(1)计算行列式｜A｜；(2)当实数a为何值时，方程组Ax=β有无穷多解，并求其通解．
答案：
正确答案：(1)
(2)设矩阵A的增广矩阵为
，则
要使方程组Ax=β有无穷多解，必须有1...
(2)设矩阵A的增广矩阵为
，则
要使方程组Ax=β有无穷多解，必须有1...
问答题
(2010年试题，22)设
(2010年试题，22)设
已知线性方程组Ax=b存在2个不同的解，(I)求λ，a；(Ⅱ)求方程组Ax=b的通解．
答案：
正确答案：(I)已知线性方程组Ax=b存在两个不同的解，则r(A)=r(A，b)=2<3．故｜A｜=0，即
则...
则...
问答题
(2009年试题，三(22))设
(2009年试题，三(22))设
(I)求满足Aξ
2
=ξ
1
，A
2
ξ
3
=ξ
1
的所有向量ξ
2
，ξ
3
；(Ⅱ)对(I)中的任意向量ξ
2
，ξ
3
，证明ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
线性无关．
答案：
正确答案：(I)因为
所以r(A)=2,故方程组Aξ3=ξ1有一个...
所以r(A)=2,故方程组Aξ3=ξ1有一个...
问答题
(2008年试题，22)设n元线性方程组Ax=b，其中
(2008年试题，22)设n元线性方程组Ax=b，其中
(I)证明行列式｜A｜=(n+1)a
n
；(Ⅱ)a为何值时，方程组有唯一解求x
1
；(Ⅲ)a为何值时，方程组有无穷多解求通解．
答案：
正确答案：(I)利用行列式性质，有
(Ⅱ)若使方程组Ax=b有唯一解，则｜A｜=(n+1)an
(Ⅱ)若使方程组Ax=b有唯一解，则｜A｜=(n+1)an
问答题
(2006年试题，22)已知非齐次线性方程组
(2006年试题，22)已知非齐次线性方程组
有3个线性无关的解．(I)证明方程组系数矩阵A的秩rA=2；(Ⅱ)求a，b的值及方程组的通解．
答案：
正确答案：(I)用线性相关性判断秩的方法．依题意，设α1，α2，α...
问答题
(2000年试题，十二)设
(2000年试题，十二)设
A=αβ
T
，β=β
T
α，其中β
T
是β的转置，求解方程2B
2
A
2
x=A
4
x+B
4
x+y
答案：
正确答案：由题设，不难求得
而A2=(αβT)(αβT<...
而A2=(αβT)(αβT<...
问答题
(1997年试题，四)λ取何值时，方程组
(1997年试题，四)λ取何值时，方程组
无解有唯一解或有无穷多解并在有无穷多解时写出方程组的通解．
答案：
正确答案：由题设．先将增广矩阵用初等行变换化为阶梯形。即
当
时，原方程组无解；当
且A≠...
当
时，原方程组无解；当
且A≠...
问答题
(2002年试题，十二)已知四阶方阵A=(α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 )，α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 均为四维列向量，其中α 2 ，α 3 ，α 4 线性无关，α 1 =2α 2 一α 3 ．如果β=α 1 +α 2 +α 3 +α 4 ，求线性方程组Ax=β的通解．
答案：
正确答案：由题设，先确定方程组Ax=β的系数矩阵的秩rA，由已知α2，α3，...
问答题
(2001年试题，十二)已知α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 是线性方程组Ax=0的一个基础解系，若β 1 =α 1 +tα 2 ，β 2 =α 2 +tα 3 ，β 3 =α 3 +tα 4 ，β 4 =α 4 +tα 1 ，讨论实数t满足什么关系时，β 1 ，β 2 β 3 ，β 4 ，卢4也是．Ax=0的一个基础解系．
答案：
正确答案：本题考查一个向量组成其为一个线性方程组的基础解系的充分必要条件，即该向量组的所有向量线性无关，且都是原方程组的...
问答题
(2007年试题，23)设线性方程组
(2007年试题，23)设线性方程组
（1）与方程x
1
+x
2
+x
3
=a-1(2)有公共解，求a的值及所有公共解．
答案：
正确答案：因为方程组(1)，方程组(2)有公共解，则可组成如下方程组
（3）因为方程组(3)的增广矩阵
（3）因为方程组(3)的增广矩阵
，若c≠0，方程组的通解是t
1
(c，0，一0)
T
+t
2
(0，c，一b)
T
，其中t
1
，t
2
为任意常数．若c=0，方程组的通解是t
1
(1，2，0)
T
+t
2
(0，0，1)
T
，其中t
1
，t
2
为任意常数．
问答题
(2005年试题，23)已知三阶矩阵A的第一行是(a，b，C)，a，b，C不全为零，矩阵B=
(2005年试题，23)已知三阶矩阵A的第一行是(a，b，C)，a，b，C不全为零，矩阵B=
(k为常数)，且AB=0，求线性方程组Ax=0的通解．
答案：
正确答案：根据题意，由AB=O，得rA+rB≤3，又A≠O，B≠O，所以1≤rA42，1≤rB42(1)若rA=2，有r...
问答题
(2010年试题，23)设
(2010年试题，23)设
1707正交矩阵Q使Q
T
TAQ为对角阵，若Q的第一列为
．求a,Q.
答案：
正确答案：因为正交矩阵Q可使得矩阵A．对角化，所以正交矩阵Q的每一列均为矩阵A的特征向量．又正交矩阵Q的第一列为
的特征方程有一个二重根，求口的值，并讨论A是否可相似对角化．
相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使P
-1
AP=A
问答题
(2011年试题，23)设A为三阶实矩阵，A的秩为2，且
(2011年试题，23)设A为三阶实矩阵，A的秩为2，且
求A的特征值与特征向量；
答案：
正确答案：易知特征值一1对应的特征向量为
特征值1对应的特征向量为
由r(A)=2知A的另一个特征值...
特征值1对应的特征向量为
由r(A)=2知A的另一个特征值...
问答题
(2006年试题，23)设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α 1 =(一1，2，一1) T ，α 2 =(0，一1，1) T 是线性方程组Ax=0的两个解．(I)求A的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得Q T AQ=A．
答案：
正确答案：(I)依题意，因为
所以矩阵A的特征量是3，α=(1，1，1)T是A属于3的特...
所以矩阵A的特征量是3，α=(1，1，1)T是A属于3的特...
求矩阵A．
得
问答题
(2012年试题，三)已知
(2012年试题，三)已知
二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
(A
T
A)x的秩为2，
(1)求实数α的值；
(2)求正交变换x=Qy将f化为标准形．
答案：
正确答案：(1)由题，二次型的秩为2，意即矩阵ATA的秩也为2,｜ATA｜=...
问答题
(2011年试题，二)二次型(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +3x 2 3 +x 3 2 +2x 1 x 3 +2x 1 x 3 +2x 2 x 3 ，则厂的正惯性指数为__________．
答案：
正确答案：
特征值λ
1
=0，λ
2
=1，λ
3
=4，z惯性指数为2．
特征值λ
1
=0，λ
2
=1，λ
3
=4，z惯性指数为2．
问答题
(2009年试题，23)设二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=ax 1 2 +ax 2 2 +(a一1)x 3 2 +2x 1 x 3 一2x 2 x 3 ． (I)求二次型f的矩阵的所有特征值； (Ⅱ)若二次型f的规范形为y 1 2 +y 2 2 ，求a的值．
答案：
正确答案：(I)由题设可知二次型f的矩阵
则
令｜λE—A｜=0，则可得到矩阵A的3个特征值分别为λ...
则
令｜λE—A｜=0，则可得到矩阵A的3个特征值分别为λ...
