问答题

n把钥匙中只有一把可以把门打开，现从中任取一把开门，直到打开门为止，针对下列两种情况分别求开门次数的数学期望和方差：试开过的钥匙除去；

答案： [解] 设X为第一种情况开门次数，X的可能取值为1，2，…，n．
且

(注意：设第3次才能打开门，则

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设随机变量(X，Y)的联合密度函数为
求P(X＞2Y)；

答案： [解]

设随机变量X～N(μ，σ ² )，Y～U[-π，π]，且X，Y相互独立，令Z=X+Y，求f _Z (z)．

答案： [解] 因为X～N(μ，σ²)，Y～U[-π，π]，所以X，Y的密度函数为

...

设随机变量(X，Y)的联合密度函数为
设Z=X+Y，求Z的概率密度函数．

答案： [解] F_Z(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)=

当z＜0时，F

设随机变量X～U(0，1)，在X=x(0＜x＜1)下，Y～U(0，x)．求X，Y的联合密度函数；

答案： [解] 因为X～U(0，1)，所以

又在X=x(0＜x＜1)下，Y～U(0，x)，所以

故

设随机变量X～U(0，1)，在X=x(0＜x＜1)下，Y～U(0，x)．求Y的边缘密度函数．

答案： [解]

当y≤0或y≥1时，f _Y (y)=0；
当0＜y＜1时，

故

设随机变量X，Y相互独立，且
又设向量组α ₁ ，α ₂ ，α ₃ 线性无关，求α ₁ +α ₂ ，α ₂ +Xα ₃ ，Yα ₁ 线性相关的概率．

答案： [解] 令k₁(α₁+α₂)+k₂

设随机变量X，Y相互独立，且X～P(1)，Y～P(2)，求P{max(X，Y)≠0}及P{min(X，Y)≠0}．

答案： [解] P{max(X，Y)≠0}=1-P{max(X，Y)=0}=1-P(X=0，Y=0)
=1-P(X=0...

设随机变量X，Y相互独立，且
Y～E(4)，令U=X+2Y，求U的概率密度．

答案： [解]

当u≤1时，F _U (u)=0；
当1＜u≤2时，

当u＞2时，

故

n把钥匙中只有一把可以把门打开，现从中任取一把开门，直到打开门为止，针对下列两种情况分别求开门次数的数学期望和方差：试开过的钥匙除去；

答案： [解] 设X为第一种情况开门次数，X的可能取值为1，2，…，n．
且

(注意：设第3次才能打开门，则

n把钥匙中只有一把可以把门打开，现从中任取一把开门，直到打开门为止，针对下列两种情况分别求开门次数的数学期望和方差：试开过的钥匙重新放回．

答案： [解] 设Y为开门次数，Y的可能取值为1，2，…，n，…，
且

设一部机器一天内发生故障的概率为
，机器发生故障时全天停止工作．若一周5个工作日无故障，则可获利10万元；发生一次故障获利5万元；发生两次故障获利0元；发生三次及以上的故障亏损2万元，求一周内利润的期望值．

答案： [解] 用X表示5天中发生故障的天数，则

以Y表示获利，则

则E(Y)=10...

设由自动生产线加工的某种零件的内径X(单位：毫米)服从正态分布N(μ，1)，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格产品．销售合格品获利，销售不合格产品亏损，已知销售利润T(单位：元)与销售零件的内径X有如下关系：

问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大

答案： [解] (T)=-1×P(X＜10)+20×P(10≤X≤12)-5P(X＞12)
=-Φ(10-u)+20[...

某商店经销某种商品，每周进货数量X与顾客对该种商晶的需求量Y之间是相互独立的，且都服从[10，20]上的均匀分布．商店每出售一单位商品可获利1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利500元，计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值．

答案： [解] 设R为商店每周的利润，则有
因为X，Y相互独立且都服从[10，20]上的均匀分布，所以(X，Y)的联合...

设随机变量X，Y相互独立，且
Z=|X-Y|，求E(Z)，D(Z)．

答案： [解] 令U=X-Y，因为X，Y相互独立，且

所以

设随机变量X服从参数为2的指数分布，令
求：(U，V)的分布；

答案： [解] 因为X服从参数为2的指数分布，所以X的分布函数为

(U，V)的可能取值为(0，...

设随机变量X服从参数为2的指数分布，令
求：U，V的相关系数．

答案： [解] 由
得
E(U)=e^-2，E(V)=e^-4，E(...

设有20人在某11层楼的底层乘电梯上楼，电梯在途中只下不上，每个乘客在哪一层下等可能，且乘客之间相互独立，求电梯停的次数的数学期望．

答案： [解] 利用随机变量分解法．(从未考过)
设随机变量X表示停靠的总的次数，令

则X=X ₂ +X ₃ +…+X ₁₁ ，

因为

所以