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问答题
已知以2π为周期的周期函数f(χ)在(－∞，＋∞)上有二阶导数，且f(0)＝0．设F(χ)＝(sinχ－1)
2
)f(χ)，证明
已知以2π为周期的周期函数f(χ)在(－∞，＋∞)上有二阶导数，且f(0)＝0．设F(χ)＝(sinχ－1)
2
)f(χ)，证明
使得F〞(χ
0
)＝0．
答案：
正确答案：显然F(0)＝F(
)＝0，于是由罗尔定理知，
，使得，F′(χ1)...
)＝0，于是由罗尔定理知，
，使得，F′(χ1)...
你可能感兴趣的试题
讨论f(χ)与g(χ)的极值．
的单调区间，极值点，凹凸性区间与拐点．
的图形．
(χ∈(－∞，＋∞))．
问答题
设P(χ)在[0，＋∞)连续且为负值，y＝y(戈)在[0，＋∞)连续，在(0，＋∞)满足y′＋P(χ)y＞0且y(0)≥0，求证：y(χ)在[0，＋∞)单调增加．
答案：
正确答案：由y′＋P(χ)y＞0(χ＞0)
＞0(χ＞0)，又
y(χ)在[0，＋∞)连续，
＞0(χ＞0)，又
y(χ)在[0，＋∞)连续，
问答题
设g(χ)在[a，b]连续，f(χ)在[a，b]二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，且对
设g(χ)在[a，b]连续，f(χ)在[a，b]二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，且对
χ(a≤χ≤b)满f〞(χ)＋g(χ)f′(χ)－f(χ)＝0．求证：f(χ)≡0 (χ∈[a，b])．
答案：
正确答案：若f(χ)在[a，b]上不恒为零，则f(χ)在[a，b]取正的最大值或负的最小值． 不妨设f(χ0<...
问答题
设f(χ)在[a，b]连续，在(a，b)可导，f(a)＝f(b)，且f(χ)不恒为常数，求证：在(a，b)内存在一点ξ，使得f′(ξ)＞0．
答案：
正确答案：若不然
χ∈(a，b)，f′(χ)≤0
f(χ)在[a，b]单调不增
χ∈[a，...
χ∈(a，b)，f′(χ)≤0
f(χ)在[a，b]单调不增
χ∈[a，...
问答题
证明方程χ＝asinχ＋b(a＞0，b＞0为常数)至少有一个正根不超过a＋b．
答案：
正确答案：f(χ)＝χ－asinχ－b，即证它在(0，a＋b]有零点．显然，f(χ)在[0，a＋b] 若f(a＋b)＝0...
＝1有且仅有一个解，求k的取值范围．
问答题
讨论曲线y＝2lnχ与y＝2χ＋ln 2 χ＋k在(0，＋∞)内的交点个数(其中k为常数)．
答案：
正确答案：令f(χ)＝2χ＋ln2χ＋k－2lnχ(χ∈(0，＋∞))，于是本题两曲线交点个数即为...
χ
2
＜ln(1＋χ)＜χ(
χ＞0)．
问答题
设f(χ)在[1，＋∞)可导，
设f(χ)在[1，＋∞)可导，
[χf(χ)]≤－kf(χ＞1)，在(1，＋∞)的
子区间上不恒等，又f(1)≤M，其中k，M为常数，求证：f(χ)＜
(χ＞1)．
答案：
正确答案：由已知不等式得
在(1，＋∞)的
子区间不恒为零，两边乘
＝χk
在(1，＋∞)的
子区间不恒为零，两边乘
＝χk
，求证a
y
－a
χ
＞(cosχ－cosy)a
χ
lna．
问答题
设0＜χ
1
＜χ
2
，f(χ)在[χ
1
，χ
2
]可导，证明：在(χ
1
，χ
2
)内至少
设0＜χ
1
＜χ
2
，f(χ)在[χ
1
，χ
2
]可导，证明：在(χ
1
，χ
2
)内至少
一个c，使得
＝f(c)－′(c)．
答案：
正确答案：
现对
与e
-χ
在[χ
1
，χ
2
]用柯西中值定理，
c∈(χ
1
，χ
2
)，有
现对
与e
-χ
在[χ
1
，χ
2
]用柯西中值定理，
c∈(χ
1
，χ
2
)，有
问答题
设f(χ)在[0，1]可导且f(1)＝2
设f(χ)在[0，1]可导且f(1)＝2
f(χ)dχ，求证：
ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝2ξf(ξ) ．
答案：
正确答案：令F(χ)＝
f(χ)，则F(χ)在[0，1]可导，且
因此，由罗尔定理，
ξ∈...
f(χ)，则F(χ)在[0，1]可导，且
因此，由罗尔定理，
ξ∈...
问答题
已知以2π为周期的周期函数f(χ)在(－∞，＋∞)上有二阶导数，且f(0)＝0．设F(χ)＝(sinχ－1)
2
)f(χ)，证明
已知以2π为周期的周期函数f(χ)在(－∞，＋∞)上有二阶导数，且f(0)＝0．设F(χ)＝(sinχ－1)
2
)f(χ)，证明
使得F〞(χ
0
)＝0．
答案：
正确答案：显然F(0)＝F(
)＝0，于是由罗尔定理知，
，使得，F′(χ1)...
)＝0，于是由罗尔定理知，
，使得，F′(χ1)...
问答题
设b＞a≥0，f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，f(a)≠f(b)，求证：存在ξ，η∈(a，b)使得f′(ξ)＝
设b＞a≥0，f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，f(a)≠f(b)，求证：存在ξ，η∈(a，b)使得f′(ξ)＝
f′(η)．
答案：
正确答案：因为f(χ)在[a，b]上满足拉格朗日中值定理条件，故至少存在ξ∈(a，b)，使
令g(χ)＝χ，由...
令g(χ)＝χ，由...
问答题
设f(χ)在χ＝0的某邻域内有连续的一阶导数，且f′(0)＝0，f〞(0)存在． 求证：
设f(χ)在χ＝0的某邻域内有连续的一阶导数，且f′(0)＝0，f〞(0)存在． 求证：
答案：
正确答案：因为ln(1＋χ)≤χ(χ∈(－1，＋∞))，故由拉格朗日中值定理可知，存在ξ(χ)∈(ln(1＋χ)，χ)，...
问答题
设有参数方程
设有参数方程
0≤t≤π． (Ⅰ)求证该参数方程确定y＝y(χ)，并求定义域； (Ⅱ)讨论y＝y(χ)的可导性与单调性； (Ⅲ)讨论y＝y(χ)的凹凸性．
答案：
正确答案：(Ⅰ)
＝3cos2t(－sint)≤0，(t∈[0，π])，仅当t＝0，
＝3cos2t(－sint)≤0，(t∈[0，π])，仅当t＝0，
f(χ)；(Ⅱ)求证：
．
f′(χ)＝A(
f′(χ)＝A)，求证：f′
+
(χ
0
)＝A(f′
-
(χ
0
)＝A)．
(Ⅱ)设f(χ)在(χ
0
－δ，χ
0
＋δ)连续，在(χ
0
－δ，χ
0
＋δ)／{χ}可导，又
f′(χ)＝A，求证：f′(χ
0
)＝A．
(Ⅲ)设f(χ)在(a，b)可导，χ
0
∈(a，b)是f′(χ)的间断点，求证：χ＝χ
0
是f′(χ)的第二类间断点．
问答题
设f(χ)在(a，＋∞)内可导，求证：
(Ⅰ)若χ
0
∈(a，＋∞)，f′(χ)≥α＞0(χ＞χ
0
)，则
设f(χ)在(a，＋∞)内可导，求证：
(Ⅰ)若χ
0
∈(a，＋∞)，f′(χ)≥α＞0(χ＞χ
0
)，则
＝＋∞；
(Ⅱ)若
f′(χ)＝A＞0，则
f(χ)＝＋∞．
答案：
正确答案：(Ⅰ)
χ＞χ0，由拉格朗日中值定理，
∈(χ0
χ＞χ0，由拉格朗日中值定理，
∈(χ0
问答题
设f(χ)，g(χ)在(a，b)内可导，g(χ)≠0且
设f(χ)，g(χ)在(a，b)内可导，g(χ)≠0且
＝0 (
χ∈(a，b))．证明：存在常数c，使得f(χ)＝cg(χ)，χ∈(a，b)．
答案：
正确答案：因为
所以存在常数c，使得
＝c(
χ∈(a，b))，即f(χ)＝cg(χ) (
χ∈(a，
所以存在常数c，使得＝c(χ∈(a，b))，即f(χ)＝cg(χ) (χ∈(a，
