求由下列曲面所围成的形体的体积：z=x+y，z=xy，x+y=1，x=0，y=0．

答案：[解]显然，由以上曲面所围的空间形体在xOy坐标上的投影是由x+y=1及x，y轴所围成的三角形，如图所示．
<...

你可能感兴趣的试题

问答题
计算其中D为下列双纽线所围成：
(x²+y²)²=2(x²-y²)；
答案：[解]由D的方程(x²+y²)²=2(x^2<...
问答题
更换下列积分次序：
答案：[解]由积分的上下限知

由D ₁ ，D ₂ 作出D的图形，见图1．于是

图1

故
问答题
计算
其中D为下列双纽线所围成：(x ² +y ² ) ² =2xy．
答案：[解]D：(x²+y²)²=2xy关于原点对称，又
问答题
更换下列积分次序：
答案：[解]分别写出右边两个积分所确定的不等式组．

由D ₁ ，D ₂ 作出D的图形如图2所示，于是

图2
问答题
计算下列二重积分：
D是以(0，0)，(1，1)，(0，1)为顶点的三角形(如图1所示)．

图1
答案：[解]因为∫e ^-y² dy不能用有限形式表示出其结果．所以它不能先积分，故
问答题
更换下列积分次序：
答案：[解]由
作出其图形，
如图3所示．将积分域D分成D ₁ ，D ₂ 及D ₃ 三部分．

图3

故
问答题
计算

答案：[解]因为
不能用有限形式表示出其结果，所以
不能先计算．为了改变积分次序，先要写出右边两积分的积分...
问答题
计算下列二重积分：
D是由直线y=x及抛物线y=x ² 所围成的区域(如图2所示)．

图2
答案：[解]因为
不能用有限形式表示出其结果，所以它不能先积分，故
问答题
设函数f(x)在[0，1]上连续，并设
求

答案：[解]因为
中
不能直接计算出来．
所以必须考虑更换积分次序，为此先画出积分域D的草图，如图所示．

于是

故
问答题
更换下列积分次序：
答案：[解]写出确定D的不等式组，并作出其图形，如图4所示．

图4

故
问答题
设有一曲顶柱体，以双曲抛物面z=xy为顶，以xy坐标面为底，以平面y=0为侧，柱面x ² +y ² =1为外侧，柱面x ² +y ² =2x为内侧，试求这个柱体的体积．
答案：[解]由题设可知曲顶柱体在xOy平面上的投影，即积分域D如图所示，由D的形状可知用极坐标计算曲顶柱体的体积简便．
问答题
更换下列积分次序：
(1)

(2)

答案：[解]极坐标系中的二重积分，若先对θ后对ρ进行积分，则应注意如下两点：
(1)积分域D的边界曲线均用极坐标表示...
问答题
求球面x ² +y ² +z ² =a ² (a＞0)被平面
与
所夹部分的面积．
答案：[解]如图所示，球面x²+y²+z²=a^2<...
问答题
求由下列曲面所围成的形体的体积：z=x+y，z=xy，x+y=1，x=0，y=0．
答案：[解]显然，由以上曲面所围的空间形体在xOy坐标上的投影是由x+y=1及x，y轴所围成的三角形，如图所示．
<...
问答题
计算
D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}．
答案：[解]从被积函数
看，用极坐标系做要简单些，但从积分域D的形状看却又以直角坐标系为宜，在二者不可兼得的情况下，...
问答题
设
D是由x+y≤t，x=0及y=0围成的，求

答案：[解]做出f(x，y)及D的图形，如图所示．

...
问答题
计算
其中

答案：[解]作出积分区域，如图所示．
问答题
计算下列二重积分：
D：x ² +y ² ≤9．[如图1所示]

图1
答案：[解]
问答题
计算下列二重积分：
[如图2所示]

图2
答案：[解]
问答题
求
其中D={(x，y)|x≥0，y≥0}．
答案：[解]
问答题
设f(x，y)是平面域D上的连续函数，且在D的任何一个子域σ上，恒有
则在D内f(x，y)≡0．
答案：[证]用反证法．设有一点P₀(x₀，y₀)∈D，而f(...
问答题
计算下列积分：

答案：[解]
问答题
设f(x)在[0，a](a＞0)上连续，试证：

答案：[证]如图所示．

故I=2I ₁ ．
问答题
设f(x)在[a，b]上连续，试证：

答案：[证]
问答题
设f(x，y)在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，证明：

其中，D为圆环域：ε ² ≤x ² +y ² ≤1．
答案：[证]采用极坐标，令x=ρcosθ，y=ρsinθ，
则

于是
<...
问答题
设f(x)，g(x)均在[a，b]上连续，证明柯西不等式：

答案：[证法一]辅助函数法：
令

(因为[f(u)g(x)]²
问答题
证明：

答案：[证]考虑二重积分
分别取D为
D₁：x²+y^...
问答题
设f(x)为[0，1]上的单调增加的连续函数，证明

答案：[证]令

类似处理，又有

将式①和式②相加，并注意到假设即(x-...
问答题
将
按y，z，x的次序积分重新改写．
答案：[解]
问答题
将
按x，z，y的次序积分改写．
答案：[解]由下图，则
问答题
计算
Ω为由平面x+y+z=1及三坐标面所围之区域(如图所示)．

答案：[解] 方法一： 因f(x，y，z)=x+y+z及积分域关于x，y，z均对称，
故

于是

方法二：
问答题
计算
Ω是球面x ² +y ² +z ² =4与抛物面x ² +y ² =3z所围形体．
答案：[解]凡积分域是由抛物面与其他曲面所围成的形体，一般用柱坐标计算为宜．在柱坐标系下，
球面与抛物面的交线为

即

故
问答题
计算
其中Ω是由曲线y ² =2x，x=0绕Oz轴旋转一周而成的曲面与两平面z=2，z=8所围之形体．
答案：[解]曲线
绕Oz轴旋转，所得旋转面方程为x²+y²=2z，如图所...
问答题
计算三重积分
其中Ω是由锥面x ² +y ² =z ² 与平面z=a(a＞0)围成的区域，如图所示．

答案：[解]本题积分域为锥体，既可用柱面坐标系，也可用球面坐标系．该处用球面坐标系做，注意各面均应写成球坐标方程．
问答题
设积分区域D是圆环1≤x ² +y ² ≤4，求

答案：[解]因积分域1≤x²+y²≤4关于x轴，y轴对称，且函数2x^3<...
问答题
设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程
(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9)，问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时
答案：[解]记V为雪堆体积，S为雪堆的侧面积，则

由题知
所以
因此
问答题
设
其中D={(x，y)|x+y≤1，x≥0，y≥0}，求：a的值；
答案：[解]在极坐标下，

[解析] 由于D是角域的一部分，因此采用极坐标计算表示a的二重积分．
问答题
设
其中D={(x，y)|x+y≤1，x≥0，y≥0}，求：常数b的值，其中b满足
答案：[解]对于上小题的
得

此外，

于是由题设得
...

求由下列曲面所围成的形体的体积：z=x+y，z=xy，x+y=1，x=0，y=0．

你可能感兴趣的试题

计算其中D为下列双纽线所围成：(x2+y2)2=2(x2-y2)；

更换下列积分次序：

计算其中D为下列双纽线所围成：(x 2 +y 2 ) 2 =2xy．

更换下列积分次序：

计算下列二重积分： D是以(0，0)，(1，1)，(0，1)为顶点的三角形(如图1所示)． 图1

更换下列积分次序：

计算

计算下列二重积分： D是由直线y=x及抛物线y=x 2 所围成的区域(如图2所示)． 图2

设函数f(x)在[0，1]上连续，并设 求

更换下列积分次序：

设有一曲顶柱体，以双曲抛物面z=xy为顶，以xy坐标面为底，以平面y=0为侧，柱面x 2 +y 2 =1为外侧，柱面x 2 +y 2 =2x为内侧，试求这个柱体的体积．

更换下列积分次序： (1) (2)

求球面x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (a＞0)被平面 与 所夹部分的面积．

求由下列曲面所围成的形体的体积：z=x+y，z=xy，x+y=1，x=0，y=0．

计算 D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}．

设 D是由x+y≤t，x=0及y=0围成的，求

计算 其中

计算下列二重积分： D：x 2 +y 2 ≤9．[如图1所示] 图1

计算下列二重积分： [如图2所示] 图2

求 其中D={(x，y)|x≥0，y≥0}．

设f(x，y)是平面域D上的连续函数，且在D的任何一个子域σ上，恒有 则在D内f(x，y)≡0．

计算下列积分：

设f(x)在[0，a](a＞0)上连续，试证：

设f(x)在[a，b]上连续，试证：

设f(x，y)在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，证明： 其中，D为圆环域：ε 2 ≤x 2 +y 2 ≤1．

设f(x)，g(x)均在[a，b]上连续，证明柯西不等式：

证明：

设f(x)为[0，1]上的单调增加的连续函数，证明

将 按y，z，x的次序积分重新改写．

将 按x，z，y的次序积分改写．

计算 Ω为由平面x+y+z=1及三坐标面所围之区域(如图所示)．

计算 Ω是球面x 2 +y 2 +z 2 =4与抛物面x 2 +y 2 =3z所围形体．

计算 其中Ω是由曲线y 2 =2x，x=0绕Oz轴旋转一周而成的曲面与两平面z=2，z=8所围之形体．

计算三重积分 其中Ω是由锥面x 2 +y 2 =z 2 与平面z=a(a＞0)围成的区域，如图所示．

设积分区域D是圆环1≤x 2 +y 2 ≤4，求

设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程 (设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9)，问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时

设其中D={(x，y)|x+y≤1，x≥0，y≥0}，求：a的值；

设其中D={(x，y)|x+y≤1，x≥0，y≥0}，求：常数b的值，其中b满足

计算其中D为下列双纽线所围成：
(x²+y²)²=2(x²-y²)；

计算
其中D为下列双纽线所围成：(x ² +y ² ) ² =2xy．

计算下列二重积分：
D是以(0，0)，(1，1)，(0，1)为顶点的三角形(如图1所示)．

图1

计算下列二重积分：
D是由直线y=x及抛物线y=x ² 所围成的区域(如图2所示)．

图2

设函数f(x)在[0，1]上连续，并设
求

设有一曲顶柱体，以双曲抛物面z=xy为顶，以xy坐标面为底，以平面y=0为侧，柱面x ² +y ² =1为外侧，柱面x ² +y ² =2x为内侧，试求这个柱体的体积．

更换下列积分次序：
(1)

(2)

求球面x ² +y ² +z ² =a ² (a＞0)被平面
与
所夹部分的面积．

计算
D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}．

设
D是由x+y≤t，x=0及y=0围成的，求

计算
其中

计算下列二重积分：
D：x ² +y ² ≤9．[如图1所示]

图1

计算下列二重积分：
[如图2所示]

图2

求
其中D={(x，y)|x≥0，y≥0}．

设f(x，y)是平面域D上的连续函数，且在D的任何一个子域σ上，恒有
则在D内f(x，y)≡0．

设f(x，y)在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，证明：

其中，D为圆环域：ε ² ≤x ² +y ² ≤1．

将
按y，z，x的次序积分重新改写．

将
按x，z，y的次序积分改写．

计算
Ω为由平面x+y+z=1及三坐标面所围之区域(如图所示)．

计算
Ω是球面x ² +y ² +z ² =4与抛物面x ² +y ² =3z所围形体．

计算
其中Ω是由曲线y ² =2x，x=0绕Oz轴旋转一周而成的曲面与两平面z=2，z=8所围之形体．

计算三重积分
其中Ω是由锥面x ² +y ² =z ² 与平面z=a(a＞0)围成的区域，如图所示．

设积分区域D是圆环1≤x ² +y ² ≤4，求

设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程
(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9)，问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时

设
其中D={(x，y)|x+y≤1，x≥0，y≥0}，求：a的值；

设
其中D={(x，y)|x+y≤1，x≥0，y≥0}，求：常数b的值，其中b满足