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问答题
设A为n阶非零方阵,且存在某正整数m,使A
m
=O.求A的特征值并证明A不与对角矩阵相似.
答案:
正确答案:λ
1
=λ
2
=…=λ
n
=0,(0E-A)x=0...
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问答题
求下列行列式的值:
答案:
正确答案:160
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问答题
求下列行列式的值:
答案:
正确答案:-10
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问答题
计算下列n阶行列式的值,(其中未写出的元素均为0):
答案:
正确答案:(-1)
n-1
(n-1)
n-2
.先将第2行的(-1)倍加到第i行(...
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问答题
设有矩阵A
m×n
,B
n×m
,已知E
m
-AB可逆,证明:E-BA可逆,且(E
n
-BA)
-1
=E
n
+B(E
m
-AB)
-1
A.
答案:
正确答案:只要验证(E
n
-BA)[E
n
+B(E
m
-AB)
-1
A]=E
n
.
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问答题
计算下列n阶行列式的值,(其中未写出的元素均为0):
答案:
正确答案:(x-1)(x-2)…(x-n+1).将第1行的(-1)倍加到第i行(i=2,3,…,n),得上三角行列式.
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问答题
设n阶矩阵A满足AA
T
=I,其中I为n阶单位矩阵,且|A|<0,求|A+I|.
答案:
正确答案:|A+I|=|A+AA
T
|=|A(I+A
T
)|=|A||I+A
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问答题
计算下列n阶行列式的值,(其中未写出的元素均为0):
答案:
正确答案:n!(1+x+
).先把第1行的(-1)倍加到第i行(i=2,3,…,n),再把第j列的1/j倍加到...
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问答题
设向量组α
1
,α
2
,α
3
线性相关,向量组α
2
,α
3
,α
4
线性无关,问: (1)α
1
能否由α
2
,α
3
线性表示证明你的结论. (2)α
4
能否由α
1
,α
2
,α
3
线性表示证明你的结论.
答案:
正确答案:(1)能.由α
2
,α
3
线性无关,而α
1
,α<...
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问答题
计算下列n阶行列式的值,(其中未写出的元素均为0):
答案:
正确答案:n+1.按第1行展开,并将(1,2)元素的余子式按第1列展开,得递推公式D
n
=2D
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问答题
已知α
i
=(α
i1
,α
i2
…,α
in
)
T
(i=1,2,…,r;r<n)是n维实向量,且α
1
,α
2
,…,α
r
线性无关.已知β=(b
1
,b
2
,…,b
n
)
T
是线性方程组
的非零解向量.试判断向量组α
1
,α
2
,…,α
r
,β的线性相关性.
答案:
正确答案:由题设条件有β
T
α
i
=0(i=1,2,…,r).设 k
1...
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问答题
问λ为何值时,线性方程组
有解,并求出解的一般形式.
答案:
正确答案:当且仅当λ=1时有解,通解为x=(1,-1,0)
T
+c(-1,2,1)
T
.
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问答题
设A
*
为n阶方阵A的伴随矩阵(n≥2).证明:
答案:
正确答案:当r(A)=n时,|A|≠0,|A
*
|=|A|
n-1
≠0,
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问答题
已知(1,-1,1,-1)
T
是线性方程组
的一个解,试求 (1)该方程组的全部解,并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解; (2)该方程组满足x
2
=x
3
的全部解.
答案:
正确答案:将解向量x=(1,-1,1,-1)
T
代入方程组,得λ=μ,对方程组的增广矩阵施行初等行变...
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问答题
设3阶矩阵A的特征值为-1,1,1,对应的特征向量分别为(1,-1,1)
T
,(1,0,-1)
T
,(1,2,-4)
T
.求A
100
.
答案:
正确答案:因为A有3个线性无关特征向量,故A可相似对角化.令
则P可逆,且使
于是有A
100
=PEP
-1
=E.
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问答题
设A为n阶非零方阵,且存在某正整数m,使A
m
=O.求A的特征值并证明A不与对角矩阵相似.
答案:
正确答案:λ
1
=λ
2
=…=λ
n
=0,(0E-A)x=0...
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问答题
设n维实向量α=(a
1
,a
2
,…,a
n
)
T
≠0,方阵A=αα
T
.证明:对于正整数m,存在常数t,使A
m
=t
m-1
A,并求出t;
答案:
正确答案:A
m
=(αα
T
)(αα
T
)…(αα
...
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问答题
设n维实向量α=(a
1
,a
2
,…,a
n
)
T
≠0,方阵A=αα
T
.求可逆矩阵P,使P
-1
AP成对角矩阵.
答案:
正确答案:A≠O,
1≤r(A)=r(αα
T
)≤r(α)=1,
r(A)=1,...
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问答题
设c
1
,c
2
,…,c
n
均为非零实常数,A=(a
ij
)
n×n
为正定矩阵,令b
ij
=a
ij
c
i
c
j
(i,j=1,2,…,n),矩阵B=(b
ij
)
n×n
,证明矩阵B为正定矩阵.
答案:
正确答案:令矩阵
则C可逆,注意用对角矩阵C左(右)乘矩阵A,等于用C的主对角线元素依次乘A的各行(列),于是...
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