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问答题
求曲线y=cosx(一
求曲线y=cosx(一
)与x轴围成的区域绕x轴、y轴形成的几何体体积．
答案：
正确答案：
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问答题
设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，证明：存在ξ∈(a，b)，使得 f(ξ)∫ ξ b g(x)dx=g(ξ)∫ a ξ f(x)dx．
答案：
正确答案：令φ(x)=∫axf(t)dt∫b...
问答题
设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且｜f"(x)｜≤2．证明：｜∫ 0 2 f(x)dx｜≤2．
答案：
正确答案：由微分中值定理得f(x)～f(0)=f"(ξ1)x，其中0＜ξ1＜...
问答题
设f(x)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得
∫
a
b
f(x)dx=(b—a)f
设f(x)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得
∫
a
b
f(x)dx=(b—a)f
f"(ξ)．
答案：
正确答案：令F(x)=∫
a
x
f(t)dt，则F(x)在[a，b]上三阶连续可导，取x
0
=
，由泰勒公式得
，由泰勒公式得
，证明(1)中的c是唯一的．
问答题
设L：y=sinx(0≤x≤
设L：y=sinx(0≤x≤
)．由x=0，L及y=sint围成面积S
1
(t)；由y=sint、L及x=
．
(1)t取何值时，S(t)=S
1
(t)+S
2
(t)取最小值
(2)t取何值时，S(t)=S
1
(t)+S
2
(t)取最大值
答案：
正确答案：S1(t)=tsint—∫0tsinxdx=...
问答题
设f(x)=∫ —1 x (1一｜t｜)dt(x＞—1)，求曲线y=f(x)与x轴所围成的平面区域的面积．
答案：
正确答案：当一1＜x≤0时，f(x)=∫
—1
x
(1一|t|)dt=∫
—1
x
(t+1)dt
x，求曲线C
2
的方程．
问答题
设曲线y=a+x—x 2 ，其中a＜0．当x＞0时，该曲线在x轴下方与y轴、x轴所围成图形的面积和在x轴上方与x轴所围成图形的面积相等，求a．
答案：
正确答案：设曲线y=a+x—x与x3轴正半轴的交点横坐标为α，β(α＜β)，由条件得 一∫
，求c．
问答题
曲线y=x
2
(x≥0)上某点处作切线，使该曲线、切线与x轴所围成的面积为
曲线y=x
2
(x≥0)上某点处作切线，使该曲线、切线与x轴所围成的面积为
，求切点坐标、切线方程，并求此图形绕x轴旋转一周所成立体的体积．
答案：
正确答案：设切点坐标为(a，a
2
)(a＞0)，则切线方程为 y一a
2
=2a(x一a)，即y=2ax一a
2
，
(a＞0)的第一拱绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．
问答题
设曲线
设曲线
(0＜a＜4)与x轴、y轴所围成的图形绕x轴旋转所得立体体积为V
1
(a)，绕y轴旋转所得立体体积为V
2
(a)，问a为何值时，V
1
(a)+V
2
(a)最大，并求最大值．
答案：
正确答案：曲线与x轴和y轴的交点坐标分别为(a，0)，(0，b)，其中b=4一a．曲线可化为
问答题
设一抛物线y=ax 2 +bx+C过点(0，0)与(1，2)，且a＜0，确定a，b，c，使得抛物线与x轴所围图形的面积最小．
答案：
正确答案：因为曲线过原点，所以c=0，又曲线过点(1，2)，所以a+b=2，b=2—a． 因为a＜0，所以b＞0，抛物线...
所围平面图形为D
1
，它们与直线x=1围成平面图形为D
2
．
(1)求k，使得D
1
与D
2
分别绕x轴旋转—周成旋转体体积V
1
与V
2
之和最小，并求最小值；
(2)求求此时的D
1
+D
2
．
(0≤t≤2π)的长度。
，过原点作切线，求此曲线、切线及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的表面积．
问答题
一半径为R的球沉入水中，球面顶部正好与水面相切，球的密度为1，求将球从水中取出所做的功．
答案：
正确答案：以球顶部与水面相切的点为坐标原点，x轴铅直向下，取[x，x+dx]
[0，2R]，由 于球的密度与水...
[0，2R]，由 于球的密度与水...
问答题
设f(t)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且∫ 0 π f(x)cosxdx=∫ 0 π f(x)sinxdx=0．证明：存在ξ∈(0，π)，使得f"(ξ)=0．
答案：
正确答案：令F(x)=∫0xf(t)sintdt，因为F(0)=F(π)=0...
