问答题

答案：正确答案：

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单项选择题

曲线
与圆x ² +(y—1) ² =1及直线y=2在第一象限所围图形的面积为( )．

A．
B．
C．
D．

单项选择题

设f(x)是[0，+∞)上的连续函数，且满足f(x)=xe ^-x +e ^x ∫ ₀ ¹ f(x)dx，则f(x)等于( )．

C．xe ^-x 一e ^x-1
D．xe ^x +e ^x-1

单项选择题

已知xe ^x ∫ ₀ ¹ f(x)dx+
+f(x)=1，则∫ ₀ ¹ f(x)dx等于( )．

A．
B．
C．
D．

单项选择题

A．
B．
C．
D．

单项选择题

设f(x)的一个原函数是
等于( )．

A．e
B．1
C．e+1
D．e-1

单项选择题

A．e ^a A
B．一e ^-a A
C．e ^-a A
D．一A

单项选择题

曲线y=x ³ 在P(a，a ³ )点的切线(其中a＞0)与曲线所围图形的面积为( )．

A．
B．
C．
D．

单项选择题

在曲线y ² =2px(p＞0)上点
处作曲线的法线，则法线与该曲线围成的区域D的面积为( )．

A．
B．
C．
D．

单项选择题

C．0
D．(A)，(B)，(C)都不正确

单项选择题

A．
B．
C．
D．

单项选择题

曲线y=
和直线y=x及y=2所围图形的面积S等于( )．

C．1一ln2
D．

单项选择题

I=∫ _-∞ ^+∞ (x+|x|) ² e ^-|x| dx等于( )．

A．0
B．2
C．4
D．8

单项选择题

过点(1，0)作曲线y=x ² 的两条切线，它们与曲线y=x ² 所围图形的面积是( )．

A．
B．
C．
D．

设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＜1，则方程2x—∫ ₀ ^x f(t)dt=1在(0，1)内实根的个数是_______．

答案：正确答案：1

设∫ ₀ ^x-1 f(t)dt=x ³ 一x ² +x，则f(x)在_______处取得最小值．

答案：正确答案：

答案：正确答案：

答案：正确答案：

由直线x=0，x=2，y=0与抛物线y=一x ² +1所围成的平面图形的面积S=________．

答案：正确答案：2

设f(x)=
则∫ ₁ ³ f(x一2)dx=__________．

答案：正确答案：

答案：正确答案：

由曲线y=xe ^x 与直线y=ex所围成图形的面积S=________．

答案：正确答案：

已知xe ^x 为f(x)的一个原函数，则∫ ₀ ¹ xf"(x)dx=________．

答案：正确答案：e

定积分∫ ₀ ³ |x一1|dx=________．

答案：正确答案：

设f"(x)在[0，2]上连续，且f(0)=1，f(2)=3，f’(2)=5，则∫ ₀ ¹ xf"(2x)dx=________．

答案：正确答案：2

设函数f(x)在[0，11]上有连续的导数，f(x)无零点，且f(0)=1，f(1)=2，0求

答案：正确答案：按定积分的换元积分法，作换元u=f(x)，则有

设F(x)=
求F’(x)，其中函数f(x)连续．

答案：正确答案：因为变限定积分中的被积函数中还含有变量x，必须通过换元，来去掉被积函数中的变量x，即作换元u=x+t ² ，则

设函数f(x)在(-∞，+∞)上连续，且满足∫ ₀ ¹ f(x t)dt=f(x)+
试求f(x)．

答案：正确答案：由x∫ ₀ ¹ f(x t)dt

∫ ₀ ^x f(u)du可得

对上式两边求导，有

求由方程
所确定的隐函数y=y(x)的极值．

答案：正确答案：

又在等式两边求导，可得

可知隐函数y有唯一极小值点x=1，且知极小值为y(1)=0．

设函数f(x)满足：f(0)=2，f(一2)=0，f(x)在x=一1，x=5有极值，f"(x)是二次多项式，求f(x)．

答案：正确答案：由f"(x)是二次多项式及f(x)有极值点x=一1，x=5，可知有 f’(x)=K(x+1)(x一5)，其中...

求由抛物线y ² =x与直线y=x一2所围图形的面积S．

答案：正确答案：先作草图(见图1—5—6)，再求抛物线与直线的交点A与B的坐标：A(1，一1)，B(4，2)．
选取...

当a(0≤a≤4)为何值时，两曲线
与 y=(4一a)x(x一a)所围的图形的面积最大．

答案：正确答案：先作草图(图1—5—7)，选取x为积分变量．则所围图形的面积为
由
可知，在(0，4)内有...

讨论无穷积分
的敛散性．

答案：正确答案：由定义有

所以无穷积分

收敛，且其值为

设常数α＞一1，β＞0，试求无穷积分
其中
函数在α+1处的值．

答案：正确答案：

其中利用了г函数的递推公式г(α+2)=(α+1)г(α+1)．

讨论函数f(x)的单调性，其中f(x)在[1，+∞)上可积，且满足

答案：正确答案：先求f(x)的表达式，即要求∫ ₁ ^+∞ f(x)dx=A之值．

设f(x)=
求∫ ₀ ² f(x一1)dx．

答案：正确答案：令x一1=t，则 ∫₀²f(x一1)dx=∫_-1

计算下列定积分：
(3)∫ ₀ ¹ x|a一x|dx； (4)∫ ₀ ⁵⁰ f(x)dx,其中f(x)是x到离x最近的整数的距离．

答案：正确答案：(1)
=∫₀²|1一x|dx(开方取绝对值) =∫

讨论广义积分∫ ₁ ^+∞
的敛散性．

答案：正确答案：依题意，得

单项选择题

由曲线
与过原点的曲线的切线及x轴所围图形的面积为( )．