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问答题

求下列极限：(Ⅰ)w=
(II)w=

答案： 正确答案：(I)注意x→0时，1－cos(x
x4，ex4
题目列表

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问答题

判断下列结论是否正确，并证明你的判断． (I)若x n ＜y n (n＞N)，且存在极限
x n =A，
y n =B，则A＜B； (II)设f(x)在(a，b)有定义，又
c∈(a，b)使得极限
f(x)=A，则f(x)在(a，b)有界； (Ⅲ)若
f(x)=∞，则
δ＞0使得当0＜｜x－a｜＜δ时
有界．
答案： 正确答案：(I)不正确．在题设下只能保证A≤B，不能保证A＜B．例如，xn=
，则x
问答题

设f(x)=
又a≠0，问a为何值时
f(x)存在．
答案： 正确答案：f(0+0)=
=π， f(0－0)=
=1.a.1=a(a≠0)， 由f(0+0)=f(...
问答题

证明：(I)
不存在；(Ⅱ)设f(x)=
，则
f(x)不存在．
答案： 正确答案：(I)取xn=
，yn=
，则均有x...
问答题

求极限w=
答案： 正确答案：w=
=2.e 20 =2e．
问答题

求下列极限：(Ⅰ)w=
(II)w=
答案： 正确答案：(I)注意x→0时，1－cos(x
x4，ex4
问答题

求w=
答案： 正确答案：属
型．先作恒等变形
然后用等价无穷小因子替换：x→0时 sin3x...
问答题

求w=
答案： 正确答案：属∞－∞型．先通分化成
型未定式，则有w=
直接用洛必达法则比较麻烦，若注意到 [ln(x...
问答题

求w=
答案： 正确答案：由于
，而
或者 ln
(x→0)，若用该等价无穷小因子替换(可简化计算)，则有
因此w=
问答题

求下列极限
f(x)：(I)f(x)=
(Ⅱ)f(x)=
答案： 正确答案：
问答题

求数列极限w=
－1)
答案： 正确答案：由
lnn (n→∞)．用等价无穷小因子替换得 w=
lnn． 引入函数f(x)=
(x＞0)，则 w=
=0．
问答题

设x n =
，求
x n ．
答案： 正确答案：作恒等变形，再用简单手段作适当放大与缩小．
注意，已知
=1，于是
=1 因此
x n =1．
问答题

求数列极限： (I)
(M＞0为常数)； (II)设数列｜x n ｜有界，求

答案： 正确答案：(I)存在自然数k，k≥M，使1＞
＞…，当n＞k时，有
即当n＞k时，有0＜
...
问答题

设f(x)在[0，1]上连续，求
x n f(x)dx．
答案： 正确答案：因为
x n dx=
，且连续函数｜f(x)｜在[0，1]存在最大值记为M，于是
又
=0，则
x n f(x)dx=0．
问答题

设a 1 ＞0，a n+1 =
(n=1，2，…)，求
a n ．
答案： 正确答案：显然，0＜an＜3(n=2，3，…)，于是｜an｜有界． 令f(x...
问答题

设x 1 =2，x n+1 =2+
，n=1，2，…，求
x n ．
答案： 正确答案：令f(x)=2+
，则x=n+1=f(xn)．显然f(x...
问答题

求w=
答案： 正确答案：x→0时，t=(1+x)x－1→0，则(1+x)x－1=t－ln(...
问答题

设f(x)=
(I)若f(x)处处连续，求a，b的值；(II)若a，b不是(I)中求出的值时f(x)有何间断点，并指出它的类型．
答案： 正确答案：(I)首先求出f(x)．注意到
故要分段求出f(x)的表达式． 当｜x｜＞1时，f(x)=
问答题

求下列极限：(I)w=
(II)w=
答案： 正确答案：(I)恒等变形：分子、分母同乘
，然后再同除x2，得
(II)恒等变...
问答题

求下列极限：(I)w=
(II)w=
答案： 正确答案：(I)先恒等变形，并作等价无穷小因子替换：1－cosx～
x(x→0 + )，
(II)这是求
型极限，用洛必达法则得
问答题

求下列极限：(I)w=
(Ⅱ)w=
答案： 正确答案：(I)属∞.0型．可先作恒等变形，然后用等价无穷小因子替换即得 w=
ln3=ln3， 其中
问答题

求下列极限：(I)w=
(Ⅱ)w=
答案： 正确答案：(I)属∞.∞型．先化成
型未定式，即w=
，作等价无穷小因子替换与恒等变形再用洛必达法则...
问答题

求下列极限： (I)w=
(arcsinx) tanx ； (Ⅱ)w=
(Ⅲ)w=
(Ⅳ)w=

答案： 正确答案：(I)属00型．
[tanxln(arcsinx)]=
[xln(a...
问答题

求w=
答案： 正确答案：属
型．先用等价无穷小关系arctan 4 x～x 4 (x→0)化简分母后再用洛必达法则得
问答题

设f(x)在[0，+∞)连续，且满足
=1．求w=
答案： 正确答案：先作恒等变形转化为求
型极限，然后用洛必达法则．
问答题

(I)设f(x)，g(x)连续，且
=1，又
φ(x)=0，求证：无穷小
g(t)dt (x→a)； (II)求w=
ln(1+2sint)dt／[
ln(1+2sint)dt] 3 ｝．
答案： 正确答案：(I)由
(II)因ln(1+2sinx)～2sinx一2x(x→0)，由题(I)
问答题

已知
=2，求a，b之值．
答案： 正确答案：原式可改写成
=2．由于该式成立，所以必有3－
=0，即a=9．将a=9代入原式．并有理化...
问答题

确定常数a，b，c的值，使
=4．
答案： 正确答案：由于当x→0时对
常数a，b都有ax2+bx+1－e－2x
问答题

求
x n ，其中x n =
－1)．
答案： 正确答案：作恒等变形后再作放大与缩小：
于是
又
，故由夹逼定理知
问答题

证明
e x2 cosnxdx=0．
答案： 正确答案：先对积分
ex2cosnxdx建立估计式然后证明它的极限...
问答题

求w=
答案： 正确答案：记xn=
是f(x)=tanx在[0，1]区间上的一个积分和．由于f(x)在[...
问答题

设x n =
，求
x n ．
答案： 正确答案：先取对数化为和式的极限lnxn=
ln(n2+i
问答题

求数列极限
x n ，其中x n =n[e(1+
) －n －1]．
答案： 正确答案：先用等价无穷小因子替换：
于是
现把它转化为函数极限后再用洛必达法则即得
问答题

当x→0时下列无穷小是x的n阶无穷小，求阶数n： (I)e x4－2x2 －1； (II)(1+tan 2 x) sinx －1； (Ⅲ)
(Ⅳ)
sint.sin(1－cost) 2 dt．
答案： 正确答案：(I)ex4－2x2－1～x4
问答题

设α＞0，β＞0为任意正数，当x→+∞时将无穷小量：
，e －x 按从低阶到高阶的顺序排列．
答案： 正确答案：先考察
lny=－∞

e lny =0．再考察
因此，当x→+∞时，按从低阶到高阶的顺序排列为
，e －x ．
问答题

设f(x)=
讨论y=f[g(x)]的连续性，若有间断点并指出类型．
答案： 正确答案：先写出f[g(x)]的表达式．考察g(x)的值域：
当x≠1，2，5时f[g(x)]分别在不同的区间...
问答题

设f(x)在[0，1]连续，且f(0)=f(1)，证明：在[0，1]上至少存在一点ξ，使得f(ξ)=f(ξ+
)，
答案： 正确答案：即证：F(x)
在[0，1]存在零点．因f(x)在[0，1]连续，所以F(x)=f(x)－f(x+<...
问答题

设f(x)在(－∞，+∞)连续，存在极限
f(x)=B．证明：(I)设A＜B，则对
μ∈(A，B)，
ξ∈(－∞，+∞)，使得f(ξ)=μ；(Ⅱ)f(x)在(－∞，+∞)上有界．
答案： 正确答案： 利用极限的性质转化为有界区间的情形． (I)由
f(x)=A＜μ及极限的不等式性质可知，
问答题

求w=
答案： 正确答案：这是求
型极限，用相消法，分子、分母同除以(e x ) 2 得 w=
=0×2=0． 其中
=0(用洛必达法则)．
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