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问答题
设A为n阶非零矩阵，且存在自然数k，使得A k =O．证明：A不可以对角化．
答案：
[证明] 方法一 令AX=λX(X≠0)，则有AkX=λkX，因为A
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证明：A可逆并求A
-1
；
所以A可逆且A
-1
=A．
问答题
设A是n阶矩阵，λ是A的特征值，其对应的特征向量为X，证明：λ 2 是A 2 的特征值，X为特征向量．若A 2 有特征值λ，其对应的特征向量为X，X是否一定为A的特征向量说明理由．
答案：
[解] 由AX=λX得A2X=A(AX)=A(λX)=λAX=λ2X可知λ<...
问答题
设A为三阶矩阵，A的特征值为λ
1
=1，λ
2
=2，λ
3
=3，其对应的线性无关的特征向量分别为
设A为三阶矩阵，A的特征值为λ
1
=1，λ
2
=2，λ
3
=3，其对应的线性无关的特征向量分别为
，向量
，求A
n
β．
答案：
[解] 方法一 令
，则
，则
，于是
方法二 令β=x 1 ξ 1 +x 2 ξ 2 +x 3 ξ 3 ，解得x 1 =2，x 2 =-2，x 3 =1，则
，则
，则
，于是
方法二 令β=x 1 ξ 1 +x 2 ξ 2 +x 3 ξ 3 ，解得x 1 =2，x 2 =-2，x 3 =1，则
，
，因为rA=1，所以λ1=3，λ
2
=λ
3
=0．
有一个特征值为3．求y．
证明：α为矩阵A的特征向量．
，所以α是矩阵A的特征向量，其对应的特征值为-1．
有一个特征值为3．求可逆矩阵P，使得(AP)
T
(AP)为对角矩阵．
问答题
设三阶实对称矩阵A的特征值为λ
1
=8，λ
2
=λ
3
=2，矩阵A的属于特征值λ
1
=8的特征向量为
设三阶实对称矩阵A的特征值为λ
1
=8，λ
2
=λ
3
=2，矩阵A的属于特征值λ
1
=8的特征向量为
，属于特征值λ
2
=λ
3
=2的特征向量为
，求属于λ
2
=λ
3
=2的另一个特征向量．
答案：
[解] 因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，所以有
对应的特征向量为
对应的特征向量为
问答题
设n阶矩阵A满足(aE-A)(bE-A)=O且a≠b．证明：A可对角化．
答案：
[证明] 由(aE-A)(bE-A)=O，得|aE-A|·|bE-A|=0，则|aE-A|=0或者|bE-A|=0．又由...
证明：A可对角化．
求A
m
．
，则
，且
有三个线性无关的特征向量，求x，y满足的条件．
，求A．
，则
，于是
问答题
设
设
为
的逆矩阵A
-1
。的特征向量．求x，y，并求A
-1
对应的特征值μ．
答案：
[解] 令Aα=μ
0
α，即
，解得μ
0
=4，x=10，y=-9，根据一对逆矩阵的特征值互为倒数的性质知
，解得μ
0
=4，x=10，y=-9，根据一对逆矩阵的特征值互为倒数的性质知
问答题
设
设
，|A|=-1，
为A*的特征向量，求A*的特征值λ及a，b，c和A对应的特征值μ．
答案：
[解] 因为A*的特征向量也是A的特征向量，由
得
，解得
因为|A|=-1，所以a=2，于是a=2，b=-3，c=2，
得
，解得
因为|A|=-1，所以a=2，于是a=2，b=-3，c=2，
求a，b．
求可逆矩阵P，使得P
-1
AP=B．
且A～B．求a．
且A～B．求可逆矩阵P，使得P
-1
AP=B．
有三个线性无关的特征向量．求a．
有三个线性无关的特征向量．求A的特征向量．
有三个线性无关的特征向量．求可逆矩阵P，使得P
-1
AP为对角阵．
，则
