问答题

设f(x)在[0，1]上可导，f(0)＝0，｜f"(x)｜≤
｜f(x)｜．证明：f(x)≡0，x∈[0，1]．

答案：正确答案：因为f(x)在[0，1]上可导，所以f(x)在[0，1]上连续，从而｜f(x)｜在[0，1]上连续，故｜f(x...

你可能感兴趣的试题

求
的最大项．

答案：正确答案：令f(x)＝
(x≥1)，由f(x)＝
得f"(x)＝
，令f"(x)＝0得x...

x＝φ(y)是y＝f(x)的反函数，f(x)可导，且f"(x)＝
，f(0)＝3，求φ"(3)．

答案：正确答案：

设
，求y"．

答案：正确答案：当｜x｜＜1时，
；当x＞1时，y"＝1；当x＜一1时，y"＝一1；由
得y在x＝一1...

设x ³ 一3xy＋y ³ ＝3确定y为x的函数，求函数y＝y(x)的极值点．

答案：正确答案：x³一3xy＋y³＝3两边对x求导得 3x²...

设f(x)连续，
，且
，求φ"(x)，并讨论φ"(x)在x＝0处的连续性．

答案：正确答案：

设x＝x(t)由sint一
＝0确定，求
．

答案：正确答案：将t＝0代入sint一

＝0得

再由

＞0得x＝1，

两边对t求导得

，从而

＝e＋1，

两边再对t求导得

设函数f(x)在x＝1的某邻域内有定义，且满足｜f(x)－2e ^x ｜≤(x一1) ² ，研究函数f(x)在x＝1处的可导性．

答案：正确答案：把x＝1代入不等式中，得f(1)＝2e．当x≠1时，不等式两边同除以｜x一1｜，得

设f(x)在x＝0的邻域内二阶连续可导，
，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的曲率．

答案：正确答案：

设
且f"(0)存在，求a，b，c．

答案：正确答案：因为f(x)在x＝0处连续，所以c＝0，即

由f(x)在x＝0处可导，得b＝1，即

于是

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)＝0，
＝1，f(1)＝0．证明： (1)存在
，使得f(η)＝η； (2)对任意的k∈(一∞，＋∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f"(ξ)一k[f(ξ)一ξ]＝1．

答案：正确答案：(1)令φ(x)＝f(x)一x，φ(x)在[0，1]上连续，
＞0，φ(1)＝一1＜0，由零点定理，...

设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且
，又f(2)＝
，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f"(ξ)＋f"(ξ)＝0．

答案：正确答案：
由积分中值定理得f(2)＝
＝f(c),其中c∈
，由罗尔定理，存在x

设f(x)在[0，1]上可导，f(0)＝0，｜f"(x)｜≤
｜f(x)｜．证明：f(x)≡0，x∈[0，1]．

答案：正确答案：因为f(x)在[0，1]上可导，所以f(x)在[0，1]上连续，从而｜f(x)｜在[0，1]上连续，故｜f(x...

设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内可导，f(a)＝f(b)＝1．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得2e ^2ξ－η ＝(e ^a ＋e ^b )[f"(η)＋f(η)]．

答案：正确答案：令φ(x)＝e^xf(x)，由微分中值定理，存在η∈(a，b)，使得
再由f(a...

设f(x)二阶可导，f(0)＝f(1)＝0且
＝一1．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)≥8．

答案：正确答案：因为f(x)在[0，1]上二阶可导，所以f(x)在[0，1]上连续且f(0)＝f(1)＝0，
＝一1...

一质点从时间t＝0开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零．证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于4．

答案：正确答案：设运动规律为S＝S(t)，显然S(0)＝0，S"(0)＝0，S(1)＝1；S"(1)＝0．由泰勒公式

设f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f"(x)｜≤1(x∈[0，1])，又f(0)＝f(1)，证明：

答案：正确答案：由泰勒公式得 f(0)＝f(x)一f"(x)x＋
f"(ξ₁)x^2<...

设f(x)在(一1，1)内二阶连续可导，且f"(x)≠0．证明： (1)对(一1，1)内任一点x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得f(x)＝f(0)＋xf"[θ(x)x]； (2)

答案：正确答案：(1)对任意x∈(一1，1)，根据微分中值定理，得 f(x)＝f(0)＋xf"[θ(x)x]，其中0＜θ(x)...

设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f"(a)＝f"(b)＝0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得

答案：正确答案：由泰勒公式得

f(x)在[－1，1]上三阶连续可导，且f(一1)＝0，f(1)＝1，f"(0)＝0．证明：存在ξ∈(一1，1)，使得f"""(ξ)＝3．

答案：正确答案：由泰勒公式得
两式相减得f"""(ξ₁)＋f"""(ξ₂...

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶连续可导．证明：存在ξ∈(a，b)，使得

答案：正确答案：因为f(x)在(a，b)内二阶可导，所以有

设f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f(x)｜≤a，｜f"(x)｜≤b，其中a，b都是非负常数，c为(0，1)内任意一点．写出f(x)在x＝c处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；

答案：正确答案：f(x)＝f(c)＋f"(c)(x—c)＋

(x—c) ² ，其中ξ介于c与x之间．

设f(x)在[一a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，
存在．写出f(x)的带拉格朗日余项的马克劳林公式；

答案：正确答案：由
存在，得f(0)＝0，f"(0)＝0，f"(0)＝0，则f(x)的带拉格朗日余项的马克劳林公式...

设f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f(x)｜≤a，｜f"(x)｜≤b，其中a，b都是非负常数，c为(0，1)内任意一点．证明：
．

答案：正确答案：分别令x＝0，x＝1，得 f(0)＝f(c)一f"(c)c＋
c²，ξ

设f(x)在[一a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，
存在．证明：存在ξ ₁ ，ξ ₂ ∈[一a，a]，使得

答案：正确答案：上式两边积分得
因为f⁽⁴⁾(x)在[一a，a]上为连续函数，所以f^...

设f(x)在x ₀ 的邻域内四阶可导，且｜f ⁽⁴⁾ (x)｜≤M(M＞0)．证明：对此邻域内任一异于x ₀ 的点x，有
其中x"为x关于x ₀ 的对称点．

答案：正确答案：

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，f"＋(a)f"_(b)＞0，且g(x)≠0(x∈[a，b])，g"(x)≠0(a＜x＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得

答案：正确答案：设f’_＋(a)＞0，f’_－(b)＞0，由f’_＋

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，且f" _＋ (a)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)＜0．

答案：正确答案：

设f(x)二阶可导，f(0)＝0，且f"(x)＞0．证明：对任意的a＞0，b＞0，有f(a＋b)＞f(a)＋f(b)．

答案：正确答案：不妨设a≤b，由微分中值定理，存在ξ₁∈(0，a)，ξ₂∈(b，a...

设f(x)在[a，b]上连续，且f"(x)＞0，对任意的x ₁ ，x ₂ ∈[a，b]及0＜λ＜1，证明： f[λx ₁ ＋(1一λ)x ₂ ]≤λf(x ₁ )＋(1一λ)f(x ₂ )．

答案：正确答案：令x₀＝λx₁＋(1一λ)x₂，则x

设f(x)二阶可导，
且f"(x)＞0．证明：当x≠0时，f(x)＞x．

答案：正确答案：由

，得f(0)＝0，f"(0)＝1，又由f"(x)＞0且x≠0，所以f(x)＞f(0)＋f"(0)x＝x．

设f(x)在[0，＋∞)内可导且f(0)＝1，f"(x)＜f(x)(x＞0)．证明：f(x)＜e ^x (x＞0)．

答案：正确答案：令φ(x)＝e^－xf(x)，则φ(x)在[0，＋∞)内可导，又φ(0)＝1，φ"(x)...

设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f"(x)＞0，取x _i ∈[a，b](i＝1，2，…，n)及k _i ＞0(i＝1，2，…，n)且满足k ₁ ＋k ₂ ＋…＋k _n ＝1．证明： f(k ₁ x ₁ ＋k ₂ x ₂ ＋…＋k _n x _n )≤k ₁ f(x ₁ )＋k ₂ f(x ₂ )＋…＋k _n f(x _n )．

答案：正确答案：令x₀＝k₁x₁＋k₂...

证明：当x＞0时，(x ² 一1)Inx≥(x一1) ² ．

答案：正确答案：令φ(x)＝(x²一1)lnx一(x一1)²，φ(1)＝0．

当x＞0时，证明：

答案：正确答案：

设0＜a＜b，证明：

答案：正确答案：

求由方程x ² ＋y ³ 一xy＝0确定的函数在x＞0内的极值，并指出是极大值还是极小值．

答案：正确答案：根据隐函数求导数法，得

设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)＝f"(0)＝f(1)＝f"(1)＝0．证明：方程f"(x)一f(x)＝0在(0，1)内有根．

答案：正确答案：令φ(x)＝e^－x[f(x)＋f"(x)]．因为φ(0)＝φ(1)＝0，所以由罗尔定理...

设f(x)＝3x ² ＋Ax ^－3 (x＞0)，A为正常数，问A至少为多少时，f(x)≥20．

答案：正确答案：f(x)≥20等价于A≥20x³一3x⁵，令φ(x)＝20x

设f(x)在[0，＋∞)内二阶可导，f(0)＝一2，f"(0)＝1，f"(x)≥0．证明：f(x)＝0在 (0，＋∞)内有且仅有一个根．

答案：正确答案：因为f"(x)≥0，所以f"(x)单调不减，当x＞0时，f"(x)≥f"(0)＝1．当x＞0时，f(x)一f...