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问答题
设A，B为n阶正定矩阵．证明：A+B为正定矩阵．
答案：
[证明] 因为A，B正定，所以AT=A，BT=B，从而(A+B)T...
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问答题
设A是三阶矩阵，α 1 ，α 2 ，α 3 为三个三维线性无关的列向量，且满足Aα 1 =α 2 +α 3 ，Aα 2 =α 1 +α 3 ，Aα 3 =α 1 +α 2 ．求矩阵A的特征值；
答案：
[解] 因为α1，α2，α3线性无关，所以α...
问答题
设A，B为三阶矩阵，且AB=A-B，若λ 1 ，λ 2 ，λ 3 为A的三个不同的特征值，证明：AB=BA；
答案：
[证明] 由AB=A-B得A-B-AB+E=E，(E+A)(E-B)=E，
即E-B与E+A互为逆矩阵，于是(...
即E-B与E+A互为逆矩阵，于是(...
有三个线性无关的特征向量，求a及A
n
．
问答题
设A为三阶实对称矩阵，A的每行元素之和为5，AX=0有非零解且λ 1 =2是A的特征值，对应特征向量为(-1，0，1) T ．求A的其他特征值与特征向量；
答案：
[解] 因为A的每行元素之和为5，所以有
，即A有特征值λ2=5，对应的特征...
，即A有特征值λ2=5，对应的特征...
为矩阵A的分别属于特征值λ
1
=1，λ
2
=-2，λ
3
=-1的特征向量．求A；
问答题
设A是三阶矩阵，α 1 ，α 2 ，α 3 为三个三维线性无关的列向量，且满足Aα 1 =α 2 +α 3 ，Aα 2 =α 1 +α 3 ，Aα 3 =α 1 +α 2 ．判断矩阵A可否对角化．
答案：
[解] 因为α
1
-α
2
，α
2
-α
3
为属于二重特征值一1的两个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化．
问答题
设A，B为三阶矩阵，且AB=A-B，若λ 1 ，λ 2 ，λ 3 为A的三个不同的特征值，证明：存在可逆矩阵P，使得P -1 AP，P -1 BP同时为对角矩阵．
答案：
[证明] 因为A有三个不同的特征值λ1，λ2，λ3，所...
，得
，求a，b及正交矩阵P，使得P
T
AP=B.
问答题
设方程组
设方程组
为矩阵A的分别属于特征值λ
1
=1，λ
2
=-2，λ
3
=-1的特征向量．求|A
*
+3E|．
答案：
[解] |A|=2，A
*
对应的特征值为
，即2，-1，-2，A
*
+3E对应的特征值为5，2，1，所以|A
*
+3E|=10.
，即2，-1，-2，A
*
+3E对应的特征值为5，2，1，所以|A
*
+3E|=10.
问答题
设A，B为n阶矩阵，且r(A)+r(B)＜72.证明：A，B有公共的特征向量．
答案：
[证明] 因为r(A)+r(B)＜n，所以r(A)＜n，r(B)＜n，于是λ=0为A，B公共的特征值，A的属于特征值λ=...
设
，求Aβ.
问答题
设A是n阶矩阵，α
1
，α
2
，…，α
n
是n维列向量，且α
n
≠0，若
设A是n阶矩阵，α
1
，α
2
，…，α
n
是n维列向量，且α
n
≠0，若
Aα
1
=α
2
，Aα
2
=α
3
，…，Aα
n-1
=α
n
，Aα
n
=0.求A的特征值与特征向量．
答案：
[解]
，令P=(α1，α2，…，αn)，...
，令P=(α1，α2，…，αn)，...
，求a，b及可逆矩阵P，使得P
-1
AP=B．
，求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵．
问答题
三元二次型f=X
T
AX经过正交变换化为标准形
三元二次型f=X
T
AX经过正交变换化为标准形
且A
*
+2E的非零特征值对应的特征向量为
，求此二次型．
答案：
[解] 因为f=XTAX经过正交变换后的标准形为
所以矩阵A的特征值为λ1
所以矩阵A的特征值为λ1
二次型经过正交变换X=QY化为标准形
求参数a，b及正交矩阵Q．
有非零解，且
为正定矩阵，求a，并求当
时X
T
AX的最大值．
