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问答题
(2010年试题，18)一个高为1的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为
(2010年试题，18)一个高为1的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为
时(如图1—3-3)，计算油的质量．(长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常数ρ，其单位为kg／m
3
)
答案：
正确答案：油罐中油的M积为M=ρV，其中油的体积为V=S
底
.h
高
=S
底
.1．
故油的质量
故油的质量
你可能感兴趣的试题
问答题
(2005年试题，17)如图1—3—1所示，曲线C的方程为y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线l
1
与l
2
分别是曲线C在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)，设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分
(2005年试题，17)如图1—3—1所示，曲线C的方程为y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线l
1
与l
2
分别是曲线C在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)，设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分
答案：
正确答案：根据题意可知f(0)=0，f(3)=2，f"(3)=0从右图中还可以求出y=八z)在点(...
问答题
(2007年试题，17)设f(x)是区间
(2007年试题，17)设f(x)是区间
上的单调、可导函数，且满足
其中f
"
是f的反函数，求f(x)．
答案：
正确答案：易知f(0)=0．又等式
两边对x求导得
积分得
又f(0)=0，则C=0，于是f(x)=ln(sinx+cosx)
两边对x求导得积分得又f(0)=0，则C=0，于是f(x)=ln(sinx+cosx)
所以
所确定，求
因此
且
由已知t>1，则当x=9时，t=2，所以
求函数
的表达式
当0≤x≤1时，
综上，
问答题
(2001年试题，六)设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，且其反函数为g(x)．若
(2001年试题，六)设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，且其反函数为g(x)．若
求f(x)．
答案：
正确答案：由题设f(x)的反函数是g(x)，所以有y=f(x)，且x=g(y)，即g(f(x))=x成立，由
...
...
问答题
(2000年试题，四)设Oxy平面上有正方形D=｜(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}及直线l：x+y=t(t≥0)．若S(t)表示正方形D位于直线l左下方部分的面积，试求
(2000年试题，四)设Oxy平面上有正方形D=｜(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}及直线l：x+y=t(t≥0)．若S(t)表示正方形D位于直线l左下方部分的面积，试求
答案：
正确答案：由题设，直线l：x+y=t(t≥0)与正方形的位置关系应就t的不同取值范围分别加以讨论，从而得出S(t)的不同...
因此原式
问答题
(1997年试题，七)已知函数f(x)连续，且
(1997年试题，七)已知函数f(x)连续，且
求φ
"
(x)，并讨论φ
"
(x)的连续性．
答案：
正确答案：由题设，φ(x)的被积函数中含参数x，应化为变上限定积分的形式，即令xt=u，则
由已知
...
由已知
...
的大小，说明理由；(Ⅱ)设
求极限
问答题
(2003年试题，十)设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且．f
"
(x)>0．若极限
(2003年试题，十)设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且．f
"
(x)>0．若极限
存在，证明：(1)在(a，b)内f(x)>0；(2)在(a，b)内存在点ξ使
(3)在(a，b)内存在与(2)中ξ相异的点η，使f
"
(η)(b
2
-a
2
)=
答案：
正确答案：(1)由题设，
存在，因此
已知f(x)在[a，b]上连续，因此f(a)=0，又由f
存在，因此
已知f(x)在[a，b]上连续，因此f(a)=0，又由f
问答题
(2000年试题，十一)函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式
(2000年试题，十一)函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式
(1)求导数f
"
(x)；
(2)证明：当x≥0时，成立不等式：e
-s
f(x)≤1．
答案：
正确答案：由题设
知
此式两边对x求导，得(x+1)f""(x)+f...
知
此式两边对x求导，得(x+1)f""(x)+f...
问答题
(2000年试题，八)设函f(x)在[0，π]上连续，且
(2000年试题，八)设函f(x)在[0，π]上连续，且
试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ
1
，ξ
2
，使f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0．
答案：
正确答案：由题设，引入变上限定积分形式的辅助函数
则由已知条件知F(π)=0=F(0)，此外，由
，...
则由已知条件知F(π)=0=F(0)，此外，由
，...
(1)当n为正整数，且nπ≤x
．则
．所以
问答题
(2012年试题，三)过(0，1)点作曲线L：y=lnx的切线，切点为A，又L与x轴交于B点，区域D由L与直线AB围成，求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．
答案：
正确答案：设切点A的坐标为(x0，y0)，切线方程的斜率为k，则y...
连接而成．
(I)求容器的容积；
(Ⅱ)若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功
(长度单位：m，重力加速度为gm／s
2
，水的密度为10
3
kg／m
3
)．
问答题
(2010年试题，18)一个高为1的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为
(2010年试题，18)一个高为1的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为
时(如图1—3-3)，计算油的质量．(长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常数ρ，其单位为kg／m
3
)
答案：
正确答案：油罐中油的M积为M=ρV，其中油的体积为V=S
底
.h
高
=S
底
.1．
故油的质量
故油的质量
问答题
(2008年试题，19)设f(x)是区间[0，+∞)上具有连续导数的单调增加函数，且f(x)=1．对任意的t∈[0，+∞)，直线x=0，x=t，曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式．
答案：
正确答案：旋转体的体积为
旋转体的侧面积为
由题意
可得
两边求导得
...
旋转体的侧面积为
由题意
可得
两边求导得
...
问答题
(2009年试题，18)设非负数函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy "" 一y " +2=0，当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体的体积．
答案：
正确答案：令p=y"，则P"=y""，从而微分方程xy...
问答题
(2007年试题，18)设D是位于曲线
(2007年试题，18)设D是位于曲线
下方、x轴上方的无界区域．(I)求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a)(Ⅱ)当a为何值时，V(a)最小并求此最小值．
答案：
正确答案：
(Ⅱ)
令V
"
(a)=0，得a=e．即a=e是唯一驻点，也是最小值点．最小值
(Ⅱ)
令V
"
(a)=0，得a=e．即a=e是唯一驻点，也是最小值点．最小值
问答题
(2005年试题，16)如图1一3—7所示，C
1
，C
2
分别是y=
(2005年试题，16)如图1一3—7所示，C
1
，C
2
分别是y=
和y=e
x
的图像，过点(0，1)的曲线C
3
是一单调增函数的图像．过C
2
上任一点M(x，y)分别作垂直于x轴和y轴的直线l
x
和l
y
，记C
1
，C
2
与l
x
所围图形的面积为S
1
(x)；C
2
，C
3
与l
x
所围图形的面积为S
2
(y)．如果总有S
1
(x)=S
2
(y)，求曲线C
3
的方程x=φ(y)．
答案：
正确答案：由题意可知
又由题意S
1
(X)=S
2
(y)，即
其中y=e
x
，于是
将上面方程两边求导得
即
又由题意S
1
(X)=S
2
(y)，即
其中y=e
x
，于是
将上面方程两边求导得
即
问答题
(2004年试题，三(4))曲线
(2004年试题，三(4))曲线
与直线x=0，x=t(t>0)及y=0围成一曲边梯形．该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t)，侧面积为S(t)，在x=t处的底面积为F(t)．(I)求
的值；(Ⅱ)计算极限
答案：
正确答案：由题设，根据求旋转体体积和侧面积的公式，有
问答题
【计算题】
某闸门的形状与大小如图1—3—8所示，其中直线l为对称轴x闸门的上部为矩形ABCD，下部由二次抛物线与线段AB所围成．当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5：4，闸门矩形部分的高h应为多少m(米)
答案：
正确答案：根据题意，建立坐标系如图所示，则抛物线方程为y=x2，闸门的矩形部分承受的水压力为
问答题
(2000年试题，十)设曲线y=ax 2 (a>0，x>0)与y=1一x 2 交于点A,过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax 2 围成一平面图形．问a为何值时，该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最大最大体积是多少
答案：
正确答案：根据题意，应先求由口表示的旋转体体积再求最大值．由题设，先确定交点A的坐标，由
得
由此直...
得
由此直...
问答题
(1999年试题，六)为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口(如图1一3—9)．已知井深30m，抓斗自重40N，缆绳每米重50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为3m／s．在提升过程中，污泥以20N／s_的速率从抓斗缝隙中漏掉．现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功(说明：①1N×1m=1J；m，N，s，J分别表示米、牛、秒、焦．②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计)
(1999年试题，六)为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口(如图1一3—9)．已知井深30m，抓斗自重40N，缆绳每米重50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为3m／s．在提升过程中，污泥以20N／s_的速率从抓斗缝隙中漏掉．现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功(说明：①1N×1m=1J；m，N，s，J分别表示米、牛、秒、焦．②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计)
答案：
正确答案：根据题意，建立坐标系如图所示，设抓起污泥的抓斗提升至井口需作的功为W，当抓斗运动到x处时，作用力f(x)包括抓...
问答题
(1998年试题，九)设有曲线
(1998年试题，九)设有曲线
过原点作其切线，求由此盐线、切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积．
答案：
正确答案：由题设，先求切线方程，设切点为
．曲线
在x=x0的切线的斜率为
．曲线
在x=x0的切线的斜率为
问答题
(1997年试题，六)设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内大于零，并满足
(1997年试题，六)设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内大于零，并满足
(a为常数)，又曲线y=f(x)与x=1，y=0所围的图形S的面积值为2，求函数y=f(x)，并问a取何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小。
答案：
正确答案：由题设，
由一阶线性非齐次方程的通解公式得，
又由已知条件，
解得C=4一a，因...
由一阶线性非齐次方程的通解公式得，
又由已知条件，
解得C=4一a，因...
