问答题

设直线L过A(1，0，0)，B(0，1，1)两点，将L绕z轴旋转一周得到曲面∑．∑与平面z=0，z=2所围成的立体为Ω．求Ω的形心坐标．

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设区域D={(x，y)｜x ² +y ² ≤1，x≥0}，计算二重积分

答案：正确答案：

设在上半平面D={(x，y)｜y＞0)内，函数f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的t＞0都有f(tx，ty)=t ^-2 f(x，y)．证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭线L，都有

答案：正确答案：由格林公式知，对D内的任意有向简单闭曲线L，
的充分必要条件是：对任意(x，y)∈D，有
...

计算曲面积分
其中∑为曲面
(0≤z≤1)的上侧．

答案：正确答案：

计算曲线积分∫ _L sin2xdx+2(x ² -1)ydy，其中L是曲线y=sinx上从点(0，0)到点(π，0)的一段．

答案：正确答案：

设Ω={(x，y，z)｜x ² +y ² +z ² ≤1)，则
=___________

答案：正确答案：

已知曲线L：
，则∫ _L xds=____________

答案：正确答案：

计算曲面积分
，其中∑是曲面2x ² +2y ² +z ² =4的外侧．

答案：正确答案：设∑ ₁ 为单位球面x ² +y ² +z ² =1的外侧，则

设Ω={(x，y，z)｜x ² +y ² ≤x≤1)，则Ω的形心的竖坐标
=___________

答案：正确答案：

设P为椭球面S：x ² +y ² +z ² 一yz=1上的动点，若S在点P处的切平面与xOy面垂直，求点P的轨迹C，并计算曲面积分
，其中∑是椭球面S位于曲线C上方的部分．

答案：正确答案：椭球面S上点P(x，y，z)处的法向量是 n={2x，2y—z，2z—y} 点P处的切平面与xOy面垂直的充要...

已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，
其中D={(x，y)｜ 0≤x≤1，0≤y≤1)，计算二重积分

答案：正确答案：因为f(1，y)=0，f(x，1)=0，所以f _y "(1，y)=0，f _x "(x，1)=0．从而

设∑={(x，y，z)｜x+y+z=1，x≥0，y≥0，z≥0}，则
=_____________

答案：正确答案：

已知L是第一象限中从点(0，0)沿圆周x ² +y ² =2x到点(2，0)，再沿圆周x ² +y ² =4到点(0，2)的曲线段．计算曲线积分I=∫ _L 3x ² ydx+(x ³ +x一2y)dy．

答案：正确答案：取L ₁ 为有向线段x=0，y从2到0；由L与L ₁ 围成的平面区域记为D．根据格林公式，得

设直线L过A(1，0，0)，B(0，1，1)两点，将L绕z轴旋转一周得到曲面∑．∑与平面z=0，z=2所围成的立体为Ω．求曲面∑的方程；

答案：正确答案：

设∑为曲面z=x ² +y ² (z≤1)的上侧，计算曲面积分

答案：正确答案：设S为平面z=1包含在曲面z=x ² +y ² 之内部分的下侧，则

设直线L过A(1，0，0)，B(0，1，1)两点，将L绕z轴旋转一周得到曲面∑．∑与平面z=0，z=2所围成的立体为Ω．求Ω的形心坐标．

答案：正确答案：

已知曲线L的方程为
，起点为
，终点为
，计算曲线积分I=∫ _L (y+z)dx+(z ² -x ² +y]dy+x ² y ² dz．

答案：正确答案：曲线L：

的参数方程为

求幂级数
的收敛域．并求其和函数．

答案：正确答案：

求幂级数
的收敛域．

答案：正确答案：

设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(一1，1]上的定义为
，则f(x)的傅里叶(Fourier)级数在x=1处收敛于___________．

答案：正确答案：

将函数
展为x的幂级数．

答案：正确答案：

求幂级数
的收敛域，并求其和函数．

答案：正确答案：