问答题

已知m个向量α ₁ ，α _m 线性相关，但其中任意m一1个向量都线性无关，证明：（Ⅰ）如果等式k ₁ α ₁ +…+k _m α _m =0成立，则系数后k ₁ ，…，k _m 或者全为零，或者全不为零；（Ⅱ）如果等式k ₁ α ₁ +…+k _m α _m =0和等式l ₁ α ₁ +…+l _m α _m =0都成立，则
其中l ₁ ≠0。

答案：正确答案：（Ⅰ）假设存在某个k_i=0，则由k₁，α₁+...

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已知三阶矩阵A和三维向量x，使得x，Ax，A ² x线性无关，且满足A ³ x=3Ax一2A ² X。（Ⅰ）记P=（x，Ax，A ² x）。求三阶矩阵B，使A=PBP ^—1 ；（Ⅱ）计算行列式|A+E|。

答案：正确答案：（Ⅰ）令等式A=PBP^—1两边同时右乘矩阵P，得AP=PB，即 A（x，Ax，A

设
问k为何值，可使：（Ⅰ）r（A）=1；（Ⅱ）r（A）=2；（Ⅲ）r（A）=3。

答案：正确答案：对A作初等变换，即
（Ⅰ）当k=1时，r（A）=1；（Ⅱ）当k=一2时，r（A）=2；（Ⅲ）当k...

已知m个向量α ₁ ，α _m 线性相关，但其中任意m一1个向量都线性无关，证明：（Ⅰ）如果等式k ₁ α ₁ +…+k _m α _m =0成立，则系数后k ₁ ，…，k _m 或者全为零，或者全不为零；（Ⅱ）如果等式k ₁ α ₁ +…+k _m α _m =0和等式l ₁ α ₁ +…+l _m α _m =0都成立，则
其中l ₁ ≠0。

答案：正确答案：（Ⅰ）假设存在某个k_i=0，则由k₁，α₁+...

设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r，η ₁ ，…，η _n—r+1 ，是它的n一r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为x=k ₁ η ₁ +…+k _n—r+1 η _n—r+1 ，其中k ₁ +…+k _n—r+1 =1。

答案：正确答案：设x为Ax=b的任一解，由题设知η₁，η₂，…，η_n—r...

设
（Ⅰ）计算行列式|A|；（Ⅱ）当实数a为何值时，方程组Ax=易有无穷多解，并求其通解。

答案：正确答案：
（Ⅱ）对方程组系数矩阵的增广矩阵作初等行变换，得
要使原线性方程组有无穷多解，则有1一a...

设α ₁ ，α ₂ ，…，α _s 为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β ₁ =t ₁ α ₁ +t ₂ α ₂ ，β ₂ =t ₁ α ₂ +t ₂ α ₃ ，…，β _s =t ₁ α _s +t ₂ α ₁ ，其中t ₁ ，t ₂ 为实常数。试问t ₁ ，t ₂ 满足什么条件时，β ₁ ，β ₂ ，…，β _s 也为Ax=0的一个基础解系。

答案：正确答案：因为β_i（i=1，2，…，s）是α₁，α₂，...

设矩阵
相似，求x，y；并求一个正交矩阵P，使P ^—1 AP=Λ。

答案：正确答案：A与Λ相似，相似矩阵有相同的特征值，故λ=5，λ=一4，λ=y是A的特征值。因为A=一4是A的特征值，所以<...

A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且
（Ⅰ）求A的所有特征值与特征向量；（Ⅱ）求矩阵A。

答案：正确答案：（Ⅰ）由
即特征值λ₁=一1，λ₂=1对应的特征向量为<...

证明：二次型f（x）=x ^T Ax在||x||=1时的最大值为矩阵A的最大特征值。

答案：正确答案：A为实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使得 QAQ^—1=diag（λ₁...