问答题

设
都是正项级数．试证：

答案：正确答案：

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求幂级数
的收敛域与和函数，并求
的和．

答案：正确答案：
当|x|＜1时，幂级数收敛；当|x|＞1时，幂级数发散；当x=1时，级数为
收敛；当x=...

设a _n =∫ ₀ ^nπ x|sinx|dx，n=1，2，3，…，试求
的值．

答案：正确答案：令x=nπ-t，则 a_n=一∫_nπ⁰(nπ-...

求级数
的和函数．

答案：正确答案：
又y(0)=1，y’(0)=0．于是得到如下微分方程
特征方程为r²

求幂级数
的和函数S(x)．

答案：正确答案：因为
．所以该幂级数的收敛域为(一∞，+∞)．
整理得S⁽⁴⁾(x)...

设
都是正项级数．试证：

答案：正确答案：

{{HTML}}设u ₁ =2,
(n=1，2，3，…)．证明：级数
收敛．

答案： {{*HTML*}}正确答案：由算术平均值不小于其几何平均值得
即数列{u_n}有下界1，...

{{HTML}}设幂级势
a _n (x一b) ⁿ (b＞0)在x=0处收敛，在x=2b处发散，求幂级数
的收敛半径R与收敛域，并分别求幂级数
的收敛半径．

答案： {{*HTML*}}正确答案：令t=x一b，收敛中心x₀=b的幂级数
化为收敛中心t

将f(x)=
展开为x+1的幂级数．

答案：正确答案：如果此题这样做：

是行不通的．改用“先积后导”的方法：

{{HTML}}设
x ⁿ (1一x) ⁿ dx，n=1，2，3，…．证明级数
收敛，并求其和．

答案：正确答案：

(1)证明

答案：正确答案：(1)

(2)由于

由待定系数法得，

求级数

答案：正确答案：本题要求

其收敛区间为(一∞，+∞)，并记其和函数

两边求导得S(x)=

．故

设f(x)在区间(0，1)内可导，且导函数f’(x)有界，证明：级数
绝对收敛．

答案：正确答案：在

上，由拉格朗日中值定理有

其中|f’(x)|≤M，所以

绝对收敛．

将函数f(x)=
展开成x一2的幂级数，并求出其收敛区间．

答案：正确答案：令u=x一2，于是x=u+2，f(x)=

则

上式成立的范围是

＜1且|u|＜1，即|u|＜1．从而知

{{HTML}}设a ₀ =0，a ₁ =1，a _n+1 =3a _n +4a _n+1 (n=1，2，…)． (1)令
(2)求幂级数
的收敛半径、收敛区间、收敛域及和函数．

答案： {{*HTML*}}正确答案：(1)a₂=3a₁+4a₀

{{HTML}}设a _n =
(tan ⁿ x+tan ⁿ⁺² x)dx，n=1，2，…，求幂级数
的收敛半径、收敛区间、收敛域及和函数．

答案：正确答案：
由求收敛半径的方法，得
所以收敛半径R=1，收敛区间=收敛域=(一1，1)．在收敛域内，...

求幂级数
的收敛半径、收敛区间及收敛域，并求收敛区间内的和函数．

答案：正确答案：按通常方法容易求得该幂级数的收敛半径R=1，收敛区间为(一1，1)，收敛域为[一1，1]．在收敛区间(一1，...

求级数
的收敛域及其和函数．

答案：正确答案：
可见收敛半径R=3．当x=一3时，级数成为
是收敛的交错级数；当x=3时，级数成为

将函数f(x)=arctan
展开成x一2的幂级数，并求出此展开式成立的开区间．

答案：正确答案：展开成x一2的幂级数，令 x一2=u，即x=u+2，于是f(x)=arctan
变换为
...