问答题

求方程
的通解．

答案：正确答案：这是一阶线性方程，可以直接套通解公式解之．套公式之前，应先化成标准形式：
由通解公式，得
...

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求微分方程
的通解．

答案：正确答案：变形和作适当代换后变为可分离变量的方程．方程两边同除以x，得
当x＞0时，
作变换

求微分方程y"一2y’一e ^2x =0满足条件y(0)=1，y’(0)=1的特解．

答案：正确答案：齐次方程y"一2y’=0的特征方程为r²—2r=0，由此求得特征根r₁

求微分方程y"+2y’+y=xe ^x 的通解．

答案：正确答案：特征方程r²+2r+1=0的两个根为r₁=r₂

求微分方程y"+4y’+4y=e ^-2x 的通解．

答案：正确答案：特征方程r²+4r+4=0的根为r₁=r₂=...

求微分方程y"+2y’一3y=e ^-3x 的通解．

答案：正确答案：对应的齐次方程的通解为 Y=C₁e^x+C₂e...

求微分方程(3x ² +2xy—y ² )dx+(x ² 一2xy)dy=0的通解．

答案：正确答案：方法一原方程化为3x²dx+(2xy一y²)dx+(x^...

求微分方程y"+5y’+6y=2e ^-x 的通解．

答案：正确答案：所给微分方程的特征方程为 r²+5r+6=(r+2)(r+3)=0，特征根为r

设y(x)是方程y ⁽⁴⁾ 一y"=0的解，且当x→0时，y(x)是x的三阶无穷小，求y(x)．

答案：正确答案：由泰勒公式
当x→0时，y(x)与x³同阶，即有y(0)=0，y’(0)=0，...

求一个以y ₁ =te ^t ，y ₂ =sin2t为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求其通解．

答案：正确答案：由y₁=te^t可知y₃=e^t

从一艘破裂的油轮中渗漏出来的油，在海面上逐渐扩散形成油层．设在扩散的过程中，其形状一直是一个厚度均匀的圆柱体，其体积也始终保持不变．已知其厚度h的减少率与h ³ 成正比，试证明：其半径r的增加率与r ³ 成反比．

答案：正确答案：把V=πr²h看作隐式方程，其中r，h均为关于时间t的函数，两边同时对t求导．由于π和...

求解y"=e ^2y +e ^y ，且y(0)=0，y’(0)=2．

答案：正确答案：令y’=p(y)，则
代入方程，有
p²=e^2y

求方程
的通解以及满足y(0)=2的特解．

答案：正确答案：这是可分离变量方程．当y²≠1时，分离变量得
两边积分，得
去掉绝对...

求微分方程
的通解，并求满足y(1)=0的特解．

答案：正确答案：此为齐次微分方程，按解齐次微分方程的方法解之．令y=ux，原方程化为
得
当x＞0时，上...

求方程
的通解．

答案：正确答案：这是一阶线性方程，可以直接套通解公式解之．套公式之前，应先化成标准形式：
由通解公式，得
...

求(y ³ 一3xy ² 一3x ² y)dx+(3xy ² 一3x ² y—x ³ +y ² )dy=0的通解．

答案：正确答案：将原方程通过观察分项组合． (y³一3xy²一3x²