问答题


,其中L是任一条光滑正向闭曲线,φ(1)=1且原点在其所围成的区域之外.求φ(x);

答案: 解 设L"为任意一条绕原点一周的正向光滑闭曲线,在L"上任取两点M,N,把曲线L"分成L1,L
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问答题

设f(x,y,z)连续,三为曲面2z=x 2 +y 2 位于z=2与z=8之间部分的上侧,计算
[yf(x,y,z)+x]dydz+[xf(x,y,z)+y]dzdz+[2xyf(x,y,z)+z]dxdy.

答案: 解 曲面2z=x2+y2上任一点(x,y,z)指向上侧的法向量为n={-x,...
问答题


,f(x,y)有一阶连续偏导数,求f(x,y).

答案: 解 因为曲线积分与路径无关,所以有cosy=f"y(x,y),则f(x,y)=siny+C(x),...
问答题

设L为曲线|x|+|y|=1的逆时针方向,计算

答案:
令C:x 2 +4y 2 =r 2 (r>0)逆时针且C在曲线L内,则有

问答题

在变力F={yz,xz,xy}的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面
上第一卦限的点M(ξ,η,ζ),问ξ,η,ζ取何值时,F所做的功最大求最大的功.

答案: 解 设原点O到点M(ξ,η,ζ)的直线为L,L的参数方程为








当点M的坐标为
时,力F所做的功最大,且最大功为
问答题

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答案: 解 因为曲线积分与路径无关,所以有
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问答题

计算
,其中S为圆柱x 2 +y 2 =a 2 (a>0)位于z=-a与z=a之间的部分.

答案:


,D xz ={(x,z)|-a≤x≤a,-a≤z≤a},


由对称性得

问答题

设S:x 2 +y 2 +z 2 =a 2 ,计算

答案: 解 由对称性得



所以
问答题

计算曲面积分
(x 3 +z)dydz+(y 3 +x)dzdx+dxdy,其中∑是曲线
绕z轴旋转一周所得到的曲面,取外侧.

答案: 解 曲面∑:z=1-x 2 -y 2 (z≥0),补充曲面∑ 0 :z=0(x 2 +y 2 ≤1),取下侧,由高斯公式得



问答题

计算曲线积分
,其中
从z轴正向看,C为逆时针方向.

答案: 解 方法一 n={0,-1,1},cosα=0,

由斯托克斯公式得

∑:z...
问答题

计算
,其中
从z轴正向看,L是逆时针方向.

答案: 解 设由L所围成的平面为∑,按右手准则,∑取上侧,
n={0,3,-1},cosα=0,
,由斯托克...
问答题

设空间曲线C由立体0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1的表面与平面
所截而成,计算

答案: 解 取平面
上被折线C所围的上侧部分为S,其法向量的方向余弦为cosα=cosβ=cosγ=
.设D...
问答题

计算
其中L是绕原点旋转一周的正向光滑闭曲线.

答案: 解 令
显然

令Lr:x2+y2<...
问答题

设函数f(x,y)在D:x 2 +y 2 ≤1有连续的偏导数,且在L:x 2 +y 2 =1上有f(x,y)≡0.
证明:
,其中D r :r 2 ≤x 2 +y 2 ≤1.

答案: [证明] 令



于是

再根据积分中值定理得I=-2π...
问答题


,其中L是任一条光滑正向闭曲线,φ(1)=1且原点在其所围成的区域之外.求φ(x);

答案: 解 设L"为任意一条绕原点一周的正向光滑闭曲线,在L"上任取两点M,N,把曲线L"分成L1,L
问答题

设L是不经过点(2,0),(-2,0)的分段光滑简单正向闭曲线,就L的不同情形计算

答案:

显然曲线积分I1,I2都满足柯西-黎曼条件.
问答题

设曲线L的长度为l,且
证明:|∫ L Pdx+Qdy|≤Ml.

答案: [证明] Pdx+Qdy={P,Q}·{dx,dy},
因为|a·b|≤|a||b|,
所以有
问答题

讨论级数
的敛散性.

答案: 解 令



因为
,而
收敛,所以
收敛,
由正项级数的比较审敛法得
收敛.
问答题


收敛,举例说明级数
不一定收敛;若
是正项收敛级数,证明
一定收敛.

答案: 解 令
,由交错级数的莱布尼茨审敛法,级数
收敛,

发散.设
是正...
问答题


,级数
中,哪个级数一定收敛

答案:
不一定收敛,如
,显然
,而
,因为
收敛,而
发散,...
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