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问答题
1800个电子经1000V电势差加速后从x=-∞处射向势阶
1800个电子经1000V电势差加速后从x=-∞处射向势阶
其中V0=750eV．试问在x=∞处能观察到多少个电子?如果势阶翻转一下，即电子射向势阶
则结果又如何?
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问答题
态叠加原理的一般说法如下：如果ψ1和ψ2是体系的两个可能状态，那么它们的线性叠加ψ=c1ψ1+c2ψ2，也是这个体系的一个可能状态，上述说法中的公式可以有以下四种理解：
态叠加原理的一般说法如下：如果ψ1和ψ2是体系的两个可能状态，那么它们的线性叠加ψ=c1ψ1+c2ψ2，也是这个体系的一个可能状态，上述说法中的公式可以有以下四种理解：
①ψ(x)=c1ψ1(x)+c2ψ2(x)
②ψ(x，t)=c1(t)ψ1(x)+c2(t)ψ2(x)
③ψ(x，t)=c1(t)ψ1(x，t)+c2(t)ψ2(x，t)
④ψ(x，t)=c1ψ1(x，t)+c2ψ2(x，t)其中c1，c2是任意复常数，c1(t)，c2(t)是t的复函数，你认为哪种说法是对的指出问题关键所在．
答案：
[解] 第④种说法对，因为只有波函数满足薛定谔方程，态才是可能实现的，当ψ1(x，t)和ψ
，问
此系统是否处于定态。
问答题
什么是束缚态束缚态有何特征束缚态是否必为定态反之如何，举例说明，
什么是束缚态束缚态有何特征束缚态是否必为定态反之如何，举例说明，
答案：
通常把无限远处为零的波函数描写的状态称为束缚态，一般地说，束缚态的能级是离散(分立)的，但不一定是定态，如：一维箱中粒子...
问答题
已知描述质量为μ的单粒子一维束缚态的两个能量本征函数分别为
已知描述质量为μ的单粒子一维束缚态的两个能量本征函数分别为
其中A，B，b，c均为实常数，-∞＜x＜∞． 它们对应的能级哪个高是否是相邻能级，并说明理由；
答案：
[解] 由于一维束缚定态基态无节点，第n激发态有n个节点，观察已知条件和(5)式可知ψ1(x)无节...
问答题
设波函数
设波函数
是一维势场V(x)中质量为μ的粒子的能量本征态，其中A，n，a为常量，且已知当x→∞时，V(x)=0．试求该本征态的能量E和位势V(x)．
答案：
[解] 充分利用定态的边界条件定出能级，然后得到势能．
代入一维定态薛...
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问答题
质量为μ的粒子在三边长为a，b和c的矩形箱中运动，在箱中粒子所受势能等于零，而在箱外势能无限大，即
质量为μ的粒子在三边长为a，b和c的矩形箱中运动，在箱中粒子所受势能等于零，而在箱外势能无限大，即
(1)求出体系的能量本征函数和本征值；
(2)当a=b=c=10-6m时，试问该体系有多少个状态具有小于1eV的能量．(1eV=1.6×10-19J)
答案：
[解] 薛定谔方程：
(1)由已知条件知：x，y，z可分离变量，总波函...
(1)由已知条件知：x，y，z可分离变量，总波函...
问答题
考虑两个全同的线性振子，质量均为μ，弹性常量为K，相互作用势为V=λx1x2，其中x1和x2为振动坐标，|λ|＜K． 若
考虑两个全同的线性振子，质量均为μ，弹性常量为K，相互作用势为V=λx1x2，其中x1和x2为振动坐标，|λ|＜K． 若
，讨论能级简并度；
答案：
[解] 若
，由(3)式可得
设N=2m+n，三个数都是非负...
，由(3)式可得
设N=2m+n，三个数都是非负...
，
，试求该体系的能级．
问答题
考虑两个全同的线性振子，质量均为μ，弹性常量为K，相互作用势为V=λx1x2，其中x1和x2为振动坐标，|λ|＜K． 假定
考虑两个全同的线性振子，质量均为μ，弹性常量为K，相互作用势为V=λx1x2，其中x1和x2为振动坐标，|λ|＜K． 假定
，准确到
的一阶，给出能级．
答案：
[解]
情况下，准确到
的一阶，能级为
情况下，准确到的一阶，能级为
指出这体系的所有守恒量(不必证明)；
，设ωx：ωy，ωz=1:1:2，求能级分布和相应的简并度．
求基态能量和基态波函数．
中运动，其中V0与a都是正实数，
中运动，其中V0与a都是正实数，
问答题
质量为μ的粒子在下面的一维势阱中运动：
质量为μ的粒子在下面的一维势阱中运动：
其中a，A为常量． 已知此系统的基态能量非负，请问A需要满足什么条件
答案：
[解] 随着A变小，基态能级下移，关键点是基态能量为零时的A值，设为A0，此时定态薛定谔方程为
问答题
质量为μ的粒子在一圆周(周长为L)上运动，如果还存在
质量为μ的粒子在一圆周(周长为L)上运动，如果还存在
，a≠0．求出系统所有能级和相应的归一化本征函数．
答案：
[解] 该问题为绕过圆周中心的轴做定轴转动问题，转动惯量I=μR2，其中R为圆周的半径，圆周长为L...
问答题
质量为μ的粒子在一维势场
质量为μ的粒子在一维势场
中运动，其中α与V0均为实数． 给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和本征函数；
答案：
[解] 处理含有δ(x)函数势的方程时，要去掉势能发散点x=0.δ(x)对方程解的影响通过不连续性条件来给出．
问答题
已知t=0时刻波函数，求t时刻的波函数如何求解
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如：设t=0时，线性谐振子处于状态
其中
，(i=1，2，3)为线性谐振子的本征态，假使ψ(x，0)已经归一化，计算： c；
答案：
[解] 根据态叠加原理
，其中
可得：
，所以
．若取δ=0，则有
，其中可得：，所以．若取δ=0，则有
问答题
质量为μ的粒子在一维势场
质量为μ的粒子在一维势场
中运动，其中α与V0均为实数． 给出粒子处于x＞0区域中的概率，它是大于1/2，还是小于1/2，为什么
答案：
[解] 粒子处于x＞0区域的概率为
这是因为β＞0，γ＞0，β＜γ．
这是因为β＞0，γ＞0，β＜γ．
问答题
一质量为μ粒子被一δ势阱束缚，即V(x)=-λδ(x)，λ＞0．在t=0时，势阱突然关闭(消失)．计算t＞0时波函数的表达式(不必算出结果)．
一质量为μ粒子被一δ势阱束缚，即V(x)=-λδ(x)，λ＞0．在t=0时，势阱突然关闭(消失)．计算t＞0时波函数的表达式(不必算出结果)．
答案：
[解] 对于束缚态，归一化的本征函数为
其中
．束缚态的能级...
其中
．束缚态的能级...
问答题
已知t=0时刻波函数，求t时刻的波函数如何求解
已知t=0时刻波函数，求t时刻的波函数如何求解
如：设t=0时，线性谐振子处于状态
其中
，(i=1，2，3)为线性谐振子的本征态，假使ψ(x，0)已经归一化，计算： t时刻ψ(x，t)．
答案：
[解] 由题目可知t=0时的状态为谐振子本征态的叠加，所以任意时刻体系状态在上述基础上乘上时间因子即可，
...
...
问答题
质量为μ的一维自由运动粒子，其初始波函数为ψ(x，0)， 证明：在充分长时间t后，粒子的波函数扩散到下列唯一的极限形式
质量为μ的一维自由运动粒子，其初始波函数为ψ(x，0)， 证明：在充分长时间t后，粒子的波函数扩散到下列唯一的极限形式
其中，φ是初始波函数的傅里叶变换，
答案：
[解] 波动方程为
，经傅里叶变换
方程化为
，即...
，经傅里叶变换
方程化为
，即...
问答题
当势能V(r)改变一常量C时，即V(r)→V(r)+C，粒子的波函数与时间无关部分是否变化能量本征值是否变化
设原来的薛定谔方程式是：
将方程式左边加减相等的量Cψ得
这两个方程式从数学形式上来说完全相同，因此它们有相同的解ψ(x)，从能量本征值来说，后者比前者增加了C．
答案：
设原来的薛定谔方程式是：
将方程式左边加减相等的量Cψ得
这两个方程式从数学形式上...
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这两个方程式从数学形式上...
问答题
具有一定能量E的粒子，沿x轴正方向射向势垒
具有一定能量E的粒子，沿x轴正方向射向势垒
当粒子的能量E=2U0时，粒子全部穿过；问当E=U0时，粒子被反射回去的最小概率是多少
答案：
[解] 粒子从左边入射，经势垒散射后走向无穷远处，入射前与散射后均为平面波．
(1)E＞U0...
(1)E＞U0...
的状态，试确定此势阱的宽度a．
