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问答题
设
设
，其中L是任一条光滑正向闭曲线，φ(1)=1且原点在其所围成的区域之外．设C为由点A(a，0)(a＞0)经过上半平面到点B(-a，0)的任意曲线段，求
．
答案：
解 设由C(r，0)经过上半圆
到D(-r，0)的曲线段为Cr(r＞0且Cr<...
到D(-r，0)的曲线段为Cr(r＞0且Cr<...
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问答题
设f(x，y，z)连续，三为曲面2z=x
2
+y
2
位于z=2与z=8之间部分的上侧，计算
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2
+y
2
位于z=2与z=8之间部分的上侧，计算
[yf(x，y，z)+x]dydz+[xf(x，y，z)+y]dzdz+[2xyf(x，y，z)+z]dxdy．
答案：
解 曲面2z=x2+y2上任一点(x，y，z)指向上侧的法向量为n={-x，...
，f(x，y)有一阶连续偏导数，求f(x，y)．
令C：x
2
+4y
2
=r
2
(r＞0)逆时针且C在曲线L内，则有
问答题
位于点(0，1)的质点A对质点M的引力大小为
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(其中常数k＞0，且r=|AM|)，质点M沿曲线
自点B(2，0)到点(0，0)，求质点A对质点M所做的功．
答案：
解 任取M(x，y)∈L，
，
两质点的引力大小为
则...
，
两质点的引力大小为
则...
问答题
在变力F={yz，xz，xy}的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面
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上第一卦限的点M(ξ，η，ζ)，问ξ，η，ζ取何值时，F所做的功最大求最大的功．
答案：
解 设原点O到点M(ξ，η，ζ)的直线为L，L的参数方程为
令
由
当点M的坐标为
时，力F所做的功最大，且最大功为
．
令
由
当点M的坐标为
时，力F所做的功最大，且最大功为
．
问答题
质点P沿以AB为直径的半圆从点A(1，2)到点B(3，4)运动，受力F的作用，力的大小等于|OP|，方向垂直于线段OP且与y轴的夹角为锐角，求力F所做的协．
答案：
解 力的大小
则
，于是F=|F|F
0
={-y，x}，故
所以W=2(π-1)．
则
，于是F=|F|F
0
={-y，x}，故
所以W=2(π-1)．
问答题
设f(x)二阶连续可导，且曲线积分∫[3f"(x)-2f(x)+xe 2x ]ydx+f"(x)dy与路径无关，求f(x)．
答案：
解 因为曲线积分与路径无关，所以有
f"(x)=3f"(x)-2f(x)+xe2x，即f...
f"(x)=3f"(x)-2f(x)+xe2x，即f...
，其中S为圆柱x
2
+y
2
=a
2
(a＞0)位于z=-a与z=a之间的部分．
，
，D
xz
={(x，z)|-a≤x≤a，-a≤z≤a}，
问答题
计算曲面积分
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(x
3
+z)dydz+(y
3
+x)dzdx+dxdy，其中∑是曲线
绕z轴旋转一周所得到的曲面，取外侧．
答案：
解 曲面∑：z=1-x
2
-y
2
(z≥0)，补充曲面∑
0
：z=0(x
2
+y
2
≤1)，取下侧，由高斯公式得
则
则
，其中
从z轴正向看，C为逆时针方向．
，其中
从z轴正向看，L是逆时针方向．
问答题
设空间曲线C由立体0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1的表面与平面
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所截而成，计算
答案：
解 取平面
上被折线C所围的上侧部分为S，其法向量的方向余弦为cosα=cosβ=cosγ=
．设D...
上被折线C所围的上侧部分为S，其法向量的方向余弦为cosα=cosβ=cosγ=
．设D...
其中L是绕原点旋转一周的正向光滑闭曲线．
问答题
设函数f(x，y)在D：x
2
+y
2
≤1有连续的偏导数，且在L：x
2
+y
2
=1上有f(x，y)≡0．
设函数f(x，y)在D：x
2
+y
2
≤1有连续的偏导数，且在L：x
2
+y
2
=1上有f(x，y)≡0．
证明：
，其中D
r
：r
2
≤x
2
+y
2
≤1．
答案：
[证明] 令
由
于是
再根据积分中值定理得I=-2π...
由
于是
再根据积分中值定理得I=-2π...
，其中L是任一条光滑正向闭曲线，φ(1)=1且原点在其所围成的区域之外．求φ(x)；
问答题
设
设
，其中L是任一条光滑正向闭曲线，φ(1)=1且原点在其所围成的区域之外．设C为由点A(a，0)(a＞0)经过上半平面到点B(-a，0)的任意曲线段，求
．
答案：
解 设由C(r，0)经过上半圆
到D(-r，0)的曲线段为Cr(r＞0且Cr<...
到D(-r，0)的曲线段为Cr(r＞0且Cr<...
．
证明：|∫
L
Pdx+Qdy|≤Ml．
的敛散性．
，而
收敛，所以
收敛，
收敛．
收敛，举例说明级数
不一定收敛；若
是正项收敛级数，证明
一定收敛．
，级数
中，哪个级数一定收敛
