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问答题
设曲线L是正向圆周(x-a)
2
+(y-a)
2
=1，φ(x)是连续的正函数，证明：
设曲线L是正向圆周(x-a)
2
+(y-a)
2
=1，φ(x)是连续的正函数，证明：
答案：
[解]设L所围成的闭区域为D，由格林公式得
因为区域D关于直线y=x对称，所以
于是
因为区域D关于直线y=x对称，所以
于是
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化为累次积分(两种形式)，其中积分区域D给定如下：D：由y
2
=8x与x
2
=y所围之区域；
化为柱面坐标的累次积分，其中Ω是由x
2
+y
2
=z
2
，z=1及z=4所围成．
化为累次积分(两种形式)，其中积分区域D给定如下：D：由x=3，x=5，x-2y+1=0及x-2y+7=0所围之区域；
化为累次积分(两种形式)，其中积分区域D给定如下：D：由x
2
+y
2
≤1，y≥x及x＞0所围之区域；
求沿v(x，y，z)的梯度方向的方向导数．
问答题
设函数
设函数
直线l是直线
在平面x+y-z=5上的投影，求函数u(x，y，z)在M(0，0，1)点沿直线l的方向导数(规定l与z轴正向夹角为锐角)．
答案：
[解]方法一：u"x|M=-2cos(xy...
化为极坐标形式的累次积分，其中：D：a
2
≤x
2
+y
2
≤b
2
，y≥0，(b＞a＞0)；
化为累次积分(两种形式)，其中积分区域D给定如下：D：|x|+|y|≤1．
L为由圆周x
2
+y
2
=a
2
，直线y=x及x轴在第一象限中所围图形的边界(如图所示)．
化为极坐标形式的累次积分，其中：D：x
2
+y
2
≤y，x≥0；
问答题
计算I=∫ L |y|dl，其中L：(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 -y 2 )，其中a＞0．
答案：
[解]由L的表达式可知用极坐标简便，令x=ρcosθ，y=ρsinθ，
则L：ρ4=a<...
则L：ρ4=a<...
L为球面x
2
+y
2
+z
2
=a
2
与平面x=y相交的圆周，其中a＞0．
于是
其中L为由点(0，0)到点B(1，1)的曲线
化为极坐标形式的累次积分，其中：D：0≤x+y≤1，0≤x≤1．
问答题
计算曲线积分
计算曲线积分
其中L分别为：(1)圆(x-2)
2
+(y-2)
2
=2的正向；
(2)沿曲线y=x
2
从点O(0，0)到点A(π，π
2
)的一段弧．
答案：
[解]
(1)显然，在(x-2)2+(y-2)2
(1)显然，在(x-2)2+(y-2)2
其中
其中L为沿椭圆
的正方向(见图)．
问答题
计算曲线积分
计算曲线积分
其中，
为连接点A(π，2)与点B(3π，4)的线段
之下方的任意路线(见图)，且该路线与线段
所围图形面积为2．
答案：
[解]
因为φ(y)是抽象函数，
所以碰到这类问题一般是加边使曲线封闭，再用...
因为φ(y)是抽象函数，
所以碰到这类问题一般是加边使曲线封闭，再用...
问答题
计算空间曲线积分
计算空间曲线积分
I=∮
L
(y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz，
其中，曲线L为圆柱面x
2
+y
2
=a
2
与平面
(a＞0，h＞0)的交线，从x轴正向看去，曲线是逆时针方向(见图)．
答案：
[解法一]化为参数的定积分计算，对于这种封闭的曲线要充分利用[0，2π]上三角函数簇的正交性．
令x=acos...
令x=acos...
为某一函数u=u(x，y)的全微分，并求u(x，y)．
问答题
在球面x
2
+y
2
+z
2
=1上取A(1，0，0)，B(0，1，0)，
在球面x
2
+y
2
+z
2
=1上取A(1，0，0)，B(0，1，0)，
三点为顶点的球面三角形(
均为大圆弧)，若球面密度为ρ=x
2
+z
2
，求此球面三角形块的质量(见图)．
答案：
[解]设此球面三角形块的质量为M，于是
由被积函数f(x，y，z)=x2
由被积函数f(x，y，z)=x2
(见图)
其中∑是球面：x
2
+y
2
+z
2
=R
2
．
问答题
计算曲面积分
计算曲面积分
其中，∑是由曲线
绕y轴旋转一周所成的曲面，它的法矢量与y轴正向的夹角恒大于
答案：
[解]
绕y轴旋转的旋转面方程为y-1=z
2
+x
2
，见图．
故I=2π-(-32π)=34π．
绕y轴旋转的旋转面方程为y-1=z
2
+x
2
，见图．
故I=2π-(-32π)=34π．
问答题
计算
计算
其中，∑是圆柱面x
2
+y
2
=4被平面x+z=2和z=0所截出部分的外侧(见图)．
答案：
[解]∑
1
：x+z=2，
∑ 2 ：x 2 +y 2 =4，∑ 3 ：z=0，
故I=0-12π+4π=-8π．
∑ 2 ：x 2 +y 2 =4，∑ 3 ：z=0，
故I=0-12π+4π=-8π．
其中，∑为上半球面
的上侧．
其中∑ * 为z=0，x 2 +y 2 ≤a 2 ，取下侧．
与
所围立体表面外侧．
问答题
计算曲面积分
计算曲面积分
其中，∑是由曲面x
2
+y
2
=R
2
及两平面z=R，z=-R(R＞0)所围立体表面的外侧(见图)．
答案：
[解]曲面∑是封闭的，但P，Q，R及其一阶偏导数在曲面∑所围成的区域中不连续，所以奥—高公式不能用!
被z=1，z=2所截部分的外侧(见图)．
(0≤y≤2，a＞0，a≠1)绕z轴旋转一周所成曲面的下侧．
由x=0至x=a的一段曲线绕y轴旋转所得旋转面面积．
问答题
在过点O(0，0)和A(π，0)的曲线簇y=αsinx(α＞0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从O到A的积分∫ L (1+y 3 )dx+(2x+y)dy的值最小．
答案：
[解]
令I"(α)=4(α2-1)=0
α=1，(α=-1舍去)...
令I"(α)=4(α2-1)=0
α=1，(α=-1舍去)...
问答题
设f(π)=1，试求f(x)，使曲线积分
设f(π)=1，试求f(x)，使曲线积分
与路径无关，并求当A，B两点坐标分别为(1，0)，(π，π)时曲线积分值．
答案：
[解]
因为曲线积分与路径无关，所以
整理得一阶线性方程
解之得
把f(π)=1代入上式，得C=π-1．
故
因为曲线积分与路径无关，所以
整理得一阶线性方程
解之得
把f(π)=1代入上式，得C=π-1．
故
