问答题

设函数f(x)在点x=0的某个邻域内有二阶导数，且

求：

答案： [解] 由上一小题知在点x=0的充分小邻域内有

所以，

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设f’(x₀)存在，求下列各极限：

答案： [解]

设f’(x₀)存在，求下列各极限：

答案： [解]

设f(x)在x=1处连续，且
求f’(1)．

答案： [解]

设f’(x₀)存在，求下列各极限：

答案： [解]

设f’(x₀)存在，求下列各极限：

答案： [解]

设f(x)在(-∞，+∞)内有定义，对任意x，恒有f(x+1)=2f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x(1-x²)，试判断在x=0处，f’(x)是否存在．

答案： [解] 当-1≤x＜0时，0≤x+1＜1，于是

设
f’(x)=arcsinx²．求

答案： [解]

求下列函数的导数： y=x[cos(lnx)+sin(lnx)]；

答案： [解]

求下列函数的导数： y=fⁿ[φⁿ(sinxⁿ)]；

答案： [解] y’=nf^n-1[φⁿ(sinxⁿ)]·f’[...

设
求f’[f(x)]，{f[f(x)]}’，{f[f(x)]}"．

答案： [解] 令
则f(t)=sin2t，f’(t)=2cos2t，f"(t)=-4sin2t．于是
...

求下列函数的导数： y=x^{a^a}+a^{x^a}+a^{a^x}， (a＞0)．

答案： [解] y’=a^ax^{a^a-1}+a^{x^...}

作变换u=tany，x=e^t，试将方程

化为u关于t的方程．

答案： [解] 由于y=arctanu，t=lnx，故有

代入原方程并整理得<...

设方程xy²+e^y=cos(x+y²)，求y’．

答案： [解法一] y²+2xyy’+e^yy’=-sin(x+y²

设有方程

答案： [解] 方程两边对x求导，可得

设y=x^{a^x}+a^{x^x}+x^{x^a}，求y’．

答案： [解] y=e^{a^xlnx}+a^{e^xlnx}+e^{x^alnx}

设由方程x^y=y^x确定y是x的函数，求

答案： [解] e^ylnx=e^xlny，两边同时对x求导，得

设
求y’．

答案： [解] 先将表达式写成分式指数幂的形式．

上式两边对x求导，得

设f(x)连续．且
求F’(0)．

答案： [解]

故 F’(0)=1．

设
又函数f(x)可导，求F(x)=f[φ(x)]的导数．

答案： [解]

因为分界点x=0的两侧f(x)的表达式用同一形式表示，所以分...

设y=e^xcosx，求y⁽ⁿ⁾．

答案： [解]

设f(x)任意阶可导，且f’(x)=e^-f(x)，f(0)=1．求f⁽ⁿ⁾(0)．

答案： [解] f"(x)=-e^-f(x)f’(x)=-e^-2f(x)，
...

设
求y⁽ⁿ⁾．

答案： [解] 若c≠0，用多项式除法，可得

设
求y⁽ⁿ⁾(n≥2)．

答案： [解]

设y=sinxsin2xsin3x，求y⁽ⁿ⁾．

答案： [解]

设y=sin⁶x+cos⁶x．求y⁽ⁿ⁾．

答案： [解]

设y=arcsinx，求y⁽ⁿ⁾(0)．

答案： [解]

但由麦克劳林级数知

设f(x)=arctanx，求f⁽ⁿ⁾(0)．

答案： [解]

其中|x|＜1，
又f(x)在x=0处的麦...

设
求y⁽ⁿ⁾(0)．

答案： [解]

显然，当x=0时，y’=1，y"=0，y’’’=4，…<...

设f(x)=x²ln(1+x)，求f⁽ⁿ⁾(0)．

答案： [解]

所以 f⁽ⁿ⁾(0)=(-1)

设f(x)在[a，b]上可导，f’₊(a)·f’_-(b)＜0，证明：存在一点ξ∈(a，b)，使f’(ξ)=0．

答案： [证] 不妨设f’₊(a)＞0，f’_-(b)＜0，于是
<...

已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某邻域内满足关系式f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+α(x)，其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程．

答案： [解] 由连续性，有

即 f(1)-3f(1)=0，故f(1)=0．...

设函数f(x)在点x=0的某个邻域内有二阶导数，且

求： f(0)，f’(0)和f"(0)的值；

答案： [解] 由题设知f(x)在点x=0的充分小邻域内有

在点x=0的二阶泰勒公式)，

设函数f(x)在点x=0的某个邻域内有二阶导数，且

求：

答案： [解] 由上一小题知在点x=0的充分小邻域内有

所以，

设
求f(x)并讨论f(x)的连续性与可导性．

答案： [解]

仅当f_-(1)=f₊